Punkt in der ebene < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 So 14.12.2008 | | Autor: | inuma |
| Aufgabe | | Die Ortsvektoren a, b, c der Punkte A,B,C seien linear unabhänig. Welche Bedingung muss für die Parameterwerte r,s,t erfüllt sein, damit der Punkt mit dem Ortsvektor ra+sb+tc auf der Ebene (ABC) liegt? |
Guten Tag.
Ich habe ddas Porbelm gehabt und folgende Idee.
Meine Idee:
Wenn jeweils eine der Varibalen (r,s,t) 1 wäre und die anderen 0, dann muss der Punkt auf jeden Fall, auf der Ebene liegen.
z.b
r=1 s=t=0
dann wäre der Ortsvektor der Punktes = dem Ortsvektor von A
und würde auf der Ebene liegen.
Ist dies so korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 So 14.12.2008 | | Autor: | Dath |
Das ist doch schon einmal ein Ansatzpunkt!
Aber man kann das noch allgemeiner abfassen:
Dazu sollte dir helfen:
Ein Punkt liegt dann auf einer Ebene (in Parametreform) wenn es Werte für die Parameter gibt, für die das entsehende Glöeichungssystem eindeutig lösbar ist.
Du hast jetzt den - richtigen - Fall angesprochen, dass der Punkt einer der drei gegebenen Punkte ist.
Man stellt eine Ebene (beispielsweise) so dar:
[mm]\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b-a}+\mu\overrightarrow{c-a}[/mm]
Wenn der Punkt der sich so darstellen lassen soll, auf der Ebene liegt empfehle ich dir von der Ebenengleichung auszugehen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 14.12.2008 | | Autor: | inuma |
hallo
wie bringe ich in diese Idee von dir am besten die variablen mit ein?
also wo wird da von r/s/t gesprochen, denn ich soll ja angeben wie die bestimmt werden müssen. Denn es geht nicht um den Punkt an sich sonder, um diese Variablen.
LG
Markus.
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Hi, inuma,
> wie bringe ich in diese Idee von dir am besten die
> variablen mit ein?
>
> also wo wird da von r/s/t gesprochen, denn ich soll ja
> angeben wie die bestimmt werden müssen. Denn es geht nicht
> um den Punkt an sich sondern um diese Variablen.
So ist es!
Also: Wenn der Punkt D in der Ebene ABC liegt, dann lässt sich der Vektor [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] durch die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] als Linearkombination darstellen:
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] m*\overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] n*\overrightarrow{AC} [/mm] (***)
Wenn Du nun noch beachtest, wie diese 3 Vektoren durch [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] ausgedrückt werden können
(z.B. ist [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a} [/mm]
und [mm] \vec{d} [/mm] = [mm] r*\vec{a} [/mm] + [mm] s*\vec{b} [/mm] + [mm] t*\vec{c}, [/mm] ...)
und alles in (***) einsetzt, dann kannst Du so lange umformen, bis Du eine Vektorgleichung folgender Art kriegst:
[mm] (...)*\vec{a} [/mm] + [mm] (...)*\vec{b} [/mm] + [mm] (...)*\vec{c} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
Da die 3 Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] laut Voraussetzung linear unabhängig sein sollen, müssen alle drei Klammern auf der linken Seite =0 sein, woraus Du letztlich folgendes Ergebnis herleiten kannst:
r + s + t = 1
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 14.12.2008 | | Autor: | inuma |
Gut,
also den größten Teil deiner Antowrt habe ich verstanden, jedoch habe ich mit der SChlussfolgerung
r + s + t = 1
Probleme
wie kommst du darauf?
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Hi, inuma,
> also den größten Teil deiner Antwort habe ich verstanden,
> jedoch habe ich mit der Schlussfolgerung
>
> r + s + t = 1
>
> Probleme
>
> wie kommst du darauf?
Also bei meinem Vorschlag lautet die letzt Vektorgleichung so:
(r - 1 + m + [mm] n)*\vec{a} [/mm] +(s - [mm] m)*\vec{b} [/mm] + (t - [mm] n)*\vec{c} [/mm] = [mm] \vec{o}
[/mm]
Nun setze ich die 3 Klammern =0:
I. r - 1 + m + n = 0
II. s - m = 0
III. t - n = 0
................................
II. => m = s
III. => n = t
Die beiden setze ich nun in I. ein:
r - 1 + s + t = 0
Dann noch die 1 auf die andere Seite gebracht:
r + s + t = 1
VOILA!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 So 14.12.2008 | | Autor: | inuma |
Toll, super Lösung habe noch mal drüber nachgedacht.
Vielen, Vielen Dank
(jetzt kann meine Abi-vorbereitende Prüfung (240 min) ja kommen :) )
Lg
Markus
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