Punkt & Kurve: Entfernung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Luschi |
| Aufgabe | | Vom Punkt P(2/4) aus soll die kürzeste Entfernung zur Kurve y = [mm] x^2+2x+2 [/mm] [y= [mm] (x+1)^2+1] [/mm] bestimmt werden. Ermitteln Sie diese kürzeste Entfernung! Die Verwendung eines Grafikrechners ist gestattet! |
Ich bitte um eure Mithilfe, da ich langsam an der Aufgabe komplett scheitere. Könnte mir irgendjemand einen detailierten Lösungsweg beschreiben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Luschi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Verwende für die Abstandsberechnung den Satz des Pythagoras:
$d(x) \ = \ [mm] \wurzel{(x-x_P)^2+(y-y_P)^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{(x-2)^2+\left(x^2+2x+2-4\right)^2}$
[/mm]
Für diese Funktion ist nun eine Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) durchzuführen.
Um sich die Rechenarbeit zu vereinfachen, können wir hier auch die Funktion:
$f(x) \ := \ [mm] \left[ \ d(x) \ \right]^2 [/mm] \ = \ [mm] (x-2)^2+\left(x^2+2x+2-4\right)^2 [/mm] \ = \ ...$
betrachten. Dies ist zulässig, weil die Wurzelfunktion (streng) monoton steigend ist (große Werte unter der Wurzel ergeben auch große Wurzelwerte).
Gruß
Loddar
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