Prüfung auf Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 So 21.12.2008 | | Autor: | LiN24 |
| Aufgabe | Man prüfe, ob die folgenden Mengen Unterräume des [mm] \IR^{2} [/mm] sind:
a) [mm] M_{1} [/mm] = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : x + y - 1 = 0}
b) [mm] M_{2} [/mm] = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] x^{3} [/mm] - [mm] y^{3} [/mm] = 0}
c) [mm] M_{3} [/mm] = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] = 0}
d) [mm] M_{4} [/mm] = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : 4x (14y - 4x) = [mm] 49y^{2}}
[/mm]
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Hallo,
wie geh ich an die Sache ran:
- darf ich vorraussetzen, dass [mm] M_{i} [/mm] selbst ein Vektorraum ist oder muss ich das erst beweisen, bevor ich prüfe, ob es ein Unterraum ist?
- und wie prüfe ich dann, ob es sich um einen Unterraum handelt?
würde mich freuen, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich Schritt für Schritt prüfen kann, ob es ein Unterraum ist
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo LiN24,
> Man prüfe, ob die folgenden Mengen Unterräume des [mm]\IR^{2}[/mm]
> sind:
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> a) [mm] $M_{1} [/mm] = [mm] \{(x,y) \in \IR^{2} : x + y - 1 = 0\}$
[/mm]
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> b) [mm] $M_{2}= \{(x,y) \in \IR^{2} : x^{3} - y^{3} = 0\}$
[/mm]
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> c) [mm] $M_{3}= \{(x,y)\in \IR^{2} : x^{2} - y^{2} = 0\}$
[/mm]
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> d) [mm] $M_{4}= \{(x,y) \in \IR^{2} : 4x (14y - 4x) = 49y^{2}\}$
[/mm]
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> Hallo,
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> wie geh ich an die Sache ran:
>
> - darf ich vorraussetzen, dass [mm]M_{i}[/mm] selbst ein Vektorraum
> ist ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") oder muss ich das erst beweisen, bevor ich prüfe, ob es
> ein Unterraum ist?
Beweisen oder widerlegen
>
> - und wie prüfe ich dann, ob es sich um einen Unterraum
> handelt?
Na, es gibt doch die 3 Unterraumkriterien, die es nachzuprüfen gilt.
(1) [mm] $M_i\neq\emptyset$ [/mm] bzw. [mm] $0\in M_i$ [/mm] (0=Nullvektor)
(2) Für alle [mm] $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in M_i$ [/mm] ist die Summe [mm] $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)\in M_i$
[/mm]
(3) Für alle [mm] $\lambda\in\IR, (x,y)\in M_i$ [/mm] ist auch [mm] $\lambda\cdot{}(x,y)\in M_i$
[/mm]
Um zu beweisen, dass [mm] $M_i$ [/mm] ein UVR des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, musst du alle 3 Kriterien nachweisen, um es zu widerlegen, reicht es, wenn du zeigst, dass ein Kriterium verletzt ist
Nehmen wir das erste Bsp. her
[mm] $M_1 [/mm] = [mm] \{(x,y) \in \IR^{2} \mid x + y - 1 = 0\}$
[/mm]
Ist da der Nullvektor, also $(x,y)=(0,0)$ drin? Nein, denn [mm] $0+0-1=-1\neq [/mm] 0$
Also ist [mm] $M_1$ [/mm] schonmal kein UVR des [mm] $\IR^2$
[/mm]
Gehe nun den Rest mal an ...
> würde mich freuen, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich
> Schritt für Schritt prüfen kann, ob es ein Unterraum ist
>
> mfg
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 So 21.12.2008 | | Autor: | LiN24 |
bei b) - d) ist Kriterium (1) ja erfüllt, und Punkt (2) uns (3) prüft man ja auf Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation...aber wie ich das jetzt zeige, ist mir noch nicht ganz klar...könntest du mir, dass noch an einem Beispiel zeigen?
lg
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Hallo nochmal,
> bei b) - d) ist Kriterium (1) ja erfüllt, und Punkt (2) uns
> (3) prüft man ja auf Abgeschlossenheit bezüglich Addition
> und Multiplikation...aber wie ich das jetzt zeige, ist mir
> noch nicht ganz klar...könntest du mir, dass noch an einem
> Beispiel zeigen?
Nehmen wir das Bsp. (c)
Nimm mal an, [mm] $M_3$ [/mm] wäre abgeschlossen bzgl. +
Nimm dir mal allg. 2 Vektoren [mm] $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in M_3$ [/mm] her.
Dann muss ja gelten [mm] $x_1^2-y_1^2=0$ [/mm] und [mm] $x_2^2-y_2^2=0$
[/mm]
Wie sieht es nun mit [mm] $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ [/mm] aus, ist das nun wieder in [mm] $M_3$?
[/mm]
Dann müsste ja [mm] $(x_1+x_2)^2-(y_1+y_2)^2=0$ [/mm] sein
Und spätestens hier müssten doch die Alarmglocken schrillen
Finde ein einfaches Gegenbsp. oder begründe mal etwas allg., warum dieser Summenvektor i.A. nicht in [mm] $M_3$ [/mm] liegt
Probiere einfach ein bisschen herum, du kannst ja nix kaputt machen 
Überlege aber nun selbst weiter und trau dich einfach, was auszuprobieren ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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