Prüfen auf lineare abhängigkei < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Max80 |
| Aufgabe | Prüfe ob die folgenden Vektoren linear abhängig sind:
[mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] |
aus der lösung weiß ich, dass es linear abhängige vektoren sein müssen, weil es mehr vektoren als dimensionen (3 vektoren, 2 dimensionen) gibt.
wie kann ich das aber rechnerisch prüfen?? muss doch trotzdem gehen...
ich habe zwar verstanden, was linear abhängig ist, aber ich weiß gar nicht wie ich an die sache jetzt ran gehen soll um das zu prüfen....!
danke!!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mi 30.05.2007 | | Autor: | max3000 |
Die Definition von linearer Abhängigkeit besagt, dass Vektoren linear Abhängig sind, genau dann wenn es eine nichttriviale Kombination des Nullvektors gibt.
Nichttrivial bedeutet, dass die Koeffizienten u, v und w nicht alle 0 sind (das können sie zwar bei linearer Abhängigkeit, es muss aber auch eine Kombination geben, wo das nicht der Fall ist).
Auf das Beispiel bezogen:
[mm] \vektor{0 \\ 0}=u\vektor{0 \\ 1}+v\vektor{1 \\ 1}+w\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Mach daraus mal ein Lineares Gleichungssystem, indem du jede Komponente einzeln betrachtest:
0=v+w [mm] \Rightarrow [/mm] v=-w
0=u+v+2w
Einsetzen und ausrechnen:
0=u+v-2v=u-v
[mm] \Rightarrow [/mm] u=v=-w
Jetzt kannst du ja eine beliebige Zahl für einen Koeffizienten ausrechnen und mit dieser Vorschrift die anderen Bestimmen.
Die Linearkombination ist also nichttrivial und darum sind diese 3 Vektoren linear abhängig.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Gruß
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Max80 |
danke!! jetzt ist mir das schon wesentlich klarer geworden.
also was ist jetzt das kriterium für linear abhängig?
ich habe das so verstanden:
die koeffizienten ausrechnen. dann einen wert einsetzen und die darüber die anderen werte ausrechnen. wenn dann die gleichung aufgeht (also =0 ist), sind die vektoren linear abhängig?! mit "beliebige zahl ausrechnen" meinst, das ich mir irgendeine aussuche und einsetze und darüber die anderen bestimme, richtig?
noch kurz was komplizierteres:
was aber, wenn ich folgenden fall habe:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 4} [/mm] , [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
hier bin ich schon beim lösen des LGS gescheitert....
danke!!!
gruß
bunti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mi 30.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> noch kurz was komplizierteres:
> was aber, wenn ich folgenden fall habe:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 4}[/mm] , [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> hier bin ich schon beim lösen des LGS gescheitert....
>
Schreibe die Vektoren doch einmal in eine Matrix:
[mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 3\\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A hat vollen Rang [mm] \gdw[/mm] [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 4}[/mm] , [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm] sind linear unabhängig.
MfG
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mi 30.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich bins noch einmal. Ich will mich einmal kurz zu folgendem aüßern.
> also was ist jetzt das kriterium für linear abhängig?
> ich habe das so verstanden:
> die koeffizienten ausrechnen. dann einen wert einsetzen
> und die darüber die anderen werte ausrechnen. wenn dann die
> gleichung aufgeht (also =0 ist), sind die vektoren linear
> abhängig?! mit "beliebige zahl ausrechnen" meinst, das ich
> mir irgendeine aussuche und einsetze und darüber die
> anderen bestimme, richtig?
Um die Koeffizienten u,v,w (wie sie max3000 bezeichnet hat), berechnen zu können, kannst du systematisch vorgehen:
Vorweg: 3 Vektoren im [mm] \IR^2 [/mm] sind immer linear abhängig. Es können im [mm] \IR^2 [/mm] höchstens 2 Vektoren linear unabhängig sein.
du hast:
[mm] \vektor{0 \\ 0}=u\vektor{0 \\ 1}+v\vektor{1 \\ 1}+w\vektor{1 \\ 2} [/mm]
Schreibe das einmal in eine Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & | 0 \\ 1 & 1 & 2 & | 0 } [/mm] (hinten, durch den "Stab" getrennt, steht der Lösungsvektor!)
Wende Gauß an:
(...)
am Ende erhälst du:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & | 0 \\ 0 & 1 & 1 & | 0 }
[/mm]
du siehst, u=1,v=1,w=-1
Das kannst du jetzt einsetzen:
[mm] \vektor{0 \\ 0}=1*\vektor{0 \\ 1}+1*\vektor{1 \\ 1}-1*\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Da [mm] v\not=u\not=w\not=0 [/mm] sind die Vektoren nicht linear unabhängig, sondern linear abhängig!!!
MfG
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Max80 |
danke für deine antwort!!
die systematik die du beschrieben hast, finde ich sehr gut. ich habe eben versucht, dies mit den großen vektoren zu machen, jedoch scheitere ich hier, beim lösen des LGS (woran hast du eigentlich nun gesehen, dass die unabhängig sind?):
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 4} [/mm] , [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
mein LGS:
[mm] 3x_{3} [/mm] = 0 (1)
[mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 0 (2)
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0 (3)
aus (1) => [mm] x_{3} [/mm] = 0 und aus (2) => [mm] x_{3} [/mm] = [mm] -x_{2}
[/mm]
wenn ich jetzt [mm] x_{3} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in (3) einsetze, geht gar nix mehr auf. Irgendwas hab ich hier schon wieder falsch gemacht. :(
Danke für deine Hilfe!!!!
LG
Bunti
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>
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> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 4}[/mm] , [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> mein LGS:
>
> [mm]3x_{3}[/mm] = 0 (1)
> [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] = 0 (2)
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]4x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 0 (3)
>
> aus (1) => [mm]x_{3}[/mm] = 0 und aus (2) => [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-x_{2}[/mm]
>
Hallo,
Du mußt noch weiterrechnen.
Du weißt bisher
(1) [mm] x_3=0
[/mm]
(2) [mm] x_2+x_3=0
[/mm]
(3) [mm] 2x_1+4x_2+x_3=0
[/mm]
Nun setzt Du (1) in (2) und (3) ein und erhältst
(1') [mm] x_3=0
[/mm]
(2') [mm] x_2=0
[/mm]
(3') [mm] 2x_1+4x_2=0
[/mm]
Nun noch (2') in (3')
(1'') [mm] x_3=0
[/mm]
(2'') [mm] x_2=0
[/mm]
(3'') [mm] 2x_1=0
[/mm]
==> [mm] x_1=x_2=x_3=0,
[/mm]
also linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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