Prüfen auf Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Mi 18.03.2009 | | Autor: | SGAdler |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm] f : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit
f(x) = {0 für x [mm] \le [/mm] 0 | x² für x > 0}
D(f) = [mm] \IR
[/mm]
a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten die Funktion differenzierbar ist und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung.
b) Untersuchen Sie, in welchen Punkten die Fkt. zweimal differenzierbat ist und bestimmen Sie ggf. die zweite Ableitung. |
Man weiß ja, dass 0 und x² differenzierbar sind, also muss man die Stelle x = 0 untersuchen.
Aber wie genau geht man da vor?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie die Funktion [mm]f : [mm]\IR \to \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit
f(x) = {0 für x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 | x² für x > 0}
D(f) = [mm]\IR[/mm]
a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten die Funktion differenzierbar ist und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung.
b) Untersuchen Sie, in welchen Punkten die Fkt. zweimal differenzierbat ist und bestimmen Sie ggf. die zweite Ableitung.
Man weiß ja, dass 0 und x² differenzierbar sind, also muss man die Stelle x = 0 untersuchen.
Aber wie genau geht man da vor?
Berechne
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
Was stellst Du fest ?
FRED
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Mi 18.03.2009 | | Autor: | SGAdler |
Für die erste Gleichung kommt x raus und für die zweite 0.
Und wenn x gegen 0 geht, geht auch f(x) gegen 0, oder?
Und zur zweimaligen Differentiation:
Da kommt 2 raus, wenn man sich von rechts nähert, also ist f'(x) in 0 nicht diff'bar, oder?
Aber wie kann ich mir das mit der 2 vorstellen? Denn 2x geht ja auch durch den Punkt (0|0) ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für die erste Gleichung kommt x raus und für die zweite 0.
> Und wenn x gegen 0 geht, geht auch f(x) gegen 0, oder?
?????
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= [/mm] 0 $
und
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = 0$
Also ist f in 0 differenzierbar !!!
Es ist f'(x) = 0 für x [mm] \le [/mm] 0 und f'(x) = 2x für x>0
>
> Und zur zweimaligen Differentiation:
> Da kommt 2 raus, wenn man sich von rechts nähert, also ist
> f'(x) in 0 nicht diff'bar, oder?
Genauer:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{f'(x)-f'(0)}{x-0} [/mm] = 2 $
und
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{f'(x)-f'(0)}{x-0} [/mm] = 0 $
Damit ist f in 0 nicht 2-mal differenzierbar
FRED
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> Aber wie kann ich mir das mit der 2 vorstellen? Denn 2x
> geht ja auch durch den Punkt (0|0) ..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Mi 18.03.2009 | | Autor: | SGAdler |
Wenn ich für f(x) die Funktion einsetze, dann erhalte ich doch:
[mm]\bruch{x² - 0}{x - 0} = \bruch{x²}{x} = x [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja und ??
FRED
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