Projektivität < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:22 So 20.01.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei [mm] \sigma [/mm] : [mm] \IC P^n [/mm] -> IC [mm] P^n [/mm] eine Projektivtät mit [mm] \sigma \circ \sigma [/mm] = [mm] id_{\IC P^n} [/mm] und bezeichne die Menge der Fixpunkte mit [mm] Fix(\sigma):= \{ p \in \IC P^n : \sigma(p)=p\}. [/mm] Zeige,
[mm] Fix(\sigma)= [/mm] P [mm] \cup [/mm] Q,
wobei P und Q zwei projektive Teilräume [mm] in\IC P^n [/mm] bezeichnen für die P [mm] \cap [/mm] Q = [mm] \{\} [/mm] und dim(P)+dim(Q)= [mm] dim(\IC P^n)-1 [/mm] gilt. |
[mm] \sigma :\IC P^n [/mm] -> [mm] \IC P^n
[/mm]
Den zu [mm] \sigma [/mm] assozierte lineare Isomorphismus nenne ich [mm] \phi [/mm] : [mm] \IC^{n+1} [/mm] -> [mm] \IC^{n+1}.
[/mm]
[mm] (\sigma=P_\phi), P_{\phi} [/mm] ([v]) := [mm] [\phi(v)]
[/mm]
Da [mm] \sigma \circ \sigma [/mm] = [mm] id_{\IC P^n} [/mm] folgt [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IC [/mm] ohne 0: [mm] \phi \circ \phi [/mm] (v)= k [mm] id_v [/mm] (v) , [mm] \forall [/mm] v [mm] \in \IC^{n+1} [/mm]
Wenn [v] [mm] \in Fix(P_\phi) [/mm] <=> [mm] P_\phi [/mm] ([v])= [v]
[mm] ->\exist [/mm] a [mm] \in \IC [/mm] ohne 0: [mm] \phi(v)=av
[/mm]
[mm] \phi(\phi(v))= \phi(av)=a^2 [/mm] v [mm] ,\forall [/mm] [v] [mm] \in [/mm] Fix [mm] (\sigma)
[/mm]
[mm] ->a^2 [/mm] = k
Wieviele Eigenwerte gibt es??
Edit:
Zu unserer definition:
Unter einer Projekivität verstehen wir eine projektive Abbildung { [mm] \pi: [/mm] P(V) -> P(V) }. Die Abbildung { [mm] \pi:P(V) [/mm] -> P(V)} wird projektiv genannt, wenn sie von der Form { [mm] \pi=P_\phi} [/mm] ist, wobei { [mm] \phi [/mm] : V-> V } ein linearer Isomorphismus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 23.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
