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Hallo, habe mal ne frage.
Wir haben in unserem Skript ein Bsp. einer Parabel: [mm] y=x^2+1. [/mm] Und diese Parabel wird perspektivisch zu einer Ellipse. Die Begründung:
Erst Homogenisiere man das Polynom: [mm] yz=x^2+z^2. [/mm] Dann betrachte man die Karte [mm] y\not=0, [/mm] d.h. y=1. man erhält:
[mm] z=x^2+z^2 \gdw [/mm] 1/4 = [mm] x^2+z^2-z+1/4 \gdw x^2+(z-1/2)^2=(1/2)^2. [/mm] Somit haben wir einen Kreis erhalten.
Ähnlich könnte man auch mit dieser Hyperbel vorgehen: [mm] x^2-y^2+1=0. [/mm] Erst Homogenisieren, d.h. [mm] x^2-y^2+z^2=0. [/mm] Dann betrachten wir wieder die Karte [mm] y\not=0, [/mm] d.h. y=1 und erhalten [mm] x^2+z^2=1 [/mm] und somit wieder eine Ellipse bzw. Kreis.
Jetzt meine Frage, gilt es projektiv immer, dass eine Parabel zur Ellipse wird und das gleiche auch für eine Hyperbel??? Oder ist das nur in diesen Beispielen so??
Danke für hilfe.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:00 Mi 30.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
projektiv kannst du aus jedm Kegelschnitt jeden anderen machen, deshalb sinds ja Kegelschnitte!
gruss leduart
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hi, danke erstmal.
aber wenn ich diese parabel betrachte: [mm] y=x^2. [/mm] also ohne die verschieben mit 1. also hieraus bekomm ich keinen kreis, woran liegt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Mi 30.07.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> aber wenn ich diese parabel betrachte: [mm]y=x^2.[/mm] also ohne die
> verschieben mit 1. also hieraus bekomm ich keinen kreis,
> woran liegt das?
Projizier diese Parabel mal von (0|-1|1) in die x-z-Ebene, am besten zeichnerisch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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ja aber irgendwie habe ich es nicht hinbekommen.
habe [mm] y=x^2 [/mm] erstmal homogenisiert, also [mm] zy=x^2, [/mm]
[mm] 0=zy-x^2=(\bruch{y+z}{2})^2-(\bruch{y-z}{2})^2-x^2. [/mm]
wie mache ich jetzt weiter?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Fr 01.08.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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