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| Aufgabe | Sei K = [mm] \IR [/mm] definiere
P:= { [mm] \pm [/mm] (x,y,z) [mm] \in K^3 [/mm] | [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] =1 }
G:= { m [x,y,z) [mm] \in K^3 [/mm] | [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] =1 }
I:= {(p,g) [mm] \in [/mm] P [mm] \times [/mm] G | p=(x,y,z) g=[a,b,c] mit ax+ay+cz = 0 }
a) ist (P,G,I) eine projektive Ebene?
b) Sei nun K = (-1,0,1) ist (P,G,I) eine projektive Ebene? |
Hi Leute,
wir haben das Themea Projektive Ebenen erst seit kurzem und ich finde mich noch nicht wirklich damit zurecht.
Für die Aufgaben a) und b) muss ich doch folgene vier Aktiome Zeigen:
1) Sind P und Q zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau eine Gerade, die mit P und Q inzidiert.
2) Sind A, B, C, D vier Punkte, so dass AB und CD mit einem gemeinsamen Punkt inzidieren, so inzidieren auch AC und BD mit einem gemeinsamen Punkt.
3) Jede Gerade inzidiert mit mindestens drei Punkten.
4) Es gibt mindestens zwei verschiedene Geraden.
In meiner Vorstellung definiert P die Punktmenge der Einheitskugel und G die Menge der Regeaden die durch 2 gegenüberliegende Punkte auf der Kugel definiert werden.
Nun habe ich aber keine Ahnung wie ich das nun Formal aufschreiben soll. Meine vermutung ist es, dass diese Definition eine projektive Ebene ist.
Zur Aufgabe b) würde ich sagen, dass es keine projektive Ebene ist, da sie nur aus 6 verschiedenen Punkten besteht [mm] (\pm [/mm] 1,0,0) [mm] (0,\pm [/mm] 1,0) und [mm] (0,0,\pm [/mm] 1) und die kleine endliche Projektive Ebene doch auch 7 Punkten besteht. Ist das richtig ?
Vielen Dank für eure Hilfe
Bubb
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Do 17.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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