Projektion < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Do 05.01.2012 | | Autor: | imzadi |
Hallo,
sei V K-VR, dim (V)=n und f aus L(V,V) eine Projektion, d.h. [mm] f=f^2.
[/mm]
Ferner ist g:=Id-f gegeben und muss man zeigen dass g auch eine Projektion ist und a)Kern(g)=Bild(f) und b)Bild(g)=Kern(f).
Beweis:
Kern(g) Teilmenge von Bild(f):
sei v aus Kern(g)=> g(v)=0 =>(id(v)-f(v))=0 => v-f(v)=0
=>f(v)=v => v im Bild f .
Bild (f) Teilmenge von Kern (g):
Sei v aus Bild(f) => es gibt ein u mit f(u)=v => f(u)-v = 0
=>id(v)-f(f(u))=0
Und hier habe ich glaube ich Fehler gemacht,da ich das ganze quadriert habe, d.h. ich habe gleich vorausgesetzt dass g eine Projektion ist. Ist doch nicht richtig ,oder?
Und beim zweiten Teil komme ich auch nicht weiter, wo ich zeigen muss dass Bild(g)=Kern(f).
Um zu zeigen ,dass Bild(g) ist TM von Kern(f):
Sei v aus Bild(g)=> es gibt ein u mit g(u)=v =>id(u)-f(u)=v
=>da wir bereits gezeigt haben dass f(v)=v kann ich schreiben 0-0=f(v) => v ist im Kern (f).
Und für Kern(f) TM von Bild(g) habe ich überhaupt keine Idee sowie wie man zeigt dass [mm] g=g^2 [/mm] gilt .Bin euch für eure Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Seiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Do 05.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> sei V K-VR, dim (V)=n und f aus L(V,V) eine Projektion,
> d.h. [mm]f=f^2.[/mm]
> Ferner ist g:=Id-f gegeben und muss man zeigen dass g auch
> eine Projektion ist und a)Kern(g)=Bild(f) und
> b)Bild(g)=Kern(f).
> Beweis:
> Kern(g) Teilmenge von Bild(f):
> sei v aus Kern(g)=> g(v)=0 =>(id(v)-f(v))=0 => v-f(v)=0
> =>f(v)=v => v im Bild f .
>
> Bild (f) Teilmenge von Kern (g):
> Sei v aus Bild(f) => es gibt ein u mit f(u)=v => f(u)-v =
> 0
> =>id(v)-f(f(u))=0
> Und hier habe ich glaube ich Fehler gemacht,da ich das
> ganze quadriert habe, d.h. ich habe gleich vorausgesetzt
> dass g eine Projektion ist. Ist doch nicht richtig ,oder?
Das ist schon richtig: Du hast ausgenutzt, dass [mm] $f^{2}= [/mm] f$ ist, was ja nach Voraussetzung erfuellt ist. Weisst Du, wie Du damit weiterkommst?
> Und beim zweiten Teil komme ich auch nicht weiter, wo ich
> zeigen muss dass Bild(g)=Kern(f).
> Um zu zeigen ,dass Bild(g) ist TM von Kern(f):
> Sei v aus Bild(g)=> es gibt ein u mit g(u)=v
> =>id(u)-f(u)=v
> =>da wir bereits gezeigt haben dass f(v)=v kann ich
> schreiben 0-0=f(v) => v ist im Kern (f).
> Und für Kern(f) TM von Bild(g) habe ich überhaupt keine
> Idee sowie wie man zeigt dass [mm]g=g^2[/mm] gilt .Bin euch für
> eure Hilfe sehr dankbar.
Mein Tip waere: Zeige erst, dass $g$ auch Projektion ist. Dann beachte, dass $f= [mm] id_{V}-g$ [/mm] ist und argumentiere wie eben.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen
> Seiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 05.01.2012 | | Autor: | imzadi |
Danke für deine schnelle Hilfe.
also ich habe geschrieben:
f(u)=v
0=v-f(u)
0=id(v)-f(u)
[mm] 0=(id(v)-f(u))^2
[/mm]
[mm] 0=(id(v))^2 -2*f(v)+(f(v))^2
[/mm]
...
0=g(v)
Bin mir nicht sicher ob mit m quadrieren richtig ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Fr 06.01.2012 | | Autor: | hippias |
Das scheint richtig quadriert zu sein, doch bin ich mir jetzt nicht ganz sicher, weshalb Du diese Rechnung durchgefuehrt hast. Aber das muss ja nichts heissen, wenn nur Du es weisst 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Fr 06.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das scheint richtig quadriert zu sein,
Nein. Obige Quadriererei ist völliger Unsinn
FRED
> doch bin ich mir
> jetzt nicht ganz sicher, weshalb Du diese Rechnung
> durchgefuehrt hast. Aber das muss ja nichts heissen, wenn
> nur Du es weisst
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Fr 06.01.2012 | | Autor: | hippias |
Du hast recht: Ich habe $u$ statt $v$ gelesen. Um die etwas unsaubere Schreibweise der Potenz habe ich hinweggesehen, was ich nicht haette tun sollen. Jedenfalls: Mea culpa!
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Hallo,
wie hippeas ist auch mir nicht klar, wozu Dein Tun dienen soll.
Schreib' immer auf, was Du zu zeigen gedenkst - dies hilft nicht zuletzt Dir, denn wie oft sitzt man da und fragt sich selbst: warum hab' ich das eigentlich gemacht?
> Danke für deine schnelle Hilfe.
> also ich habe geschrieben:
> f(u)=v
Was sind denn u und v?
> 0=v-f(u)
> 0=id(v)-f(u)
> [mm]0=(id(v)-f(u))^2[/mm]
> [mm]0=(id(v))^2 -2*f(v)+(f(v))^2[/mm]
Warum verwandelt sich das u plötzlich in ein v?
Richtig wäre - sofern es sich um einen VR mit Skalarprodukt handeln würde: [mm] $0=(id(v))^2 -2*\red{id(v)}f(\red{u})+(f(\red{u}))^2$
[/mm]
Falls es irgendeinen Grund für die Verwandlung gibt, müßte dieser erwähnt werden.
> ...
Was möchtest Du mit diesen Pünktchen ausdrücken?
> 0=g(v)
Woraus genau schließt Du das?
Ich glaube, gerade dämmert mir, was Du zu tun gedenkst: Du willst zeigen, daß [mm] Bildf\subseteq [/mm] Kerng, richtig?
Wir sollten dies für den Moment nochmal zurückstellen.
Im Eingangspost ist vorausgesetzt, daß f eine Projektion ist. Ich gehe davon aus, daß Ihr uch schon ein wenig mit Projektionen beschäftigt habt.
Wenn f eine Projektion ist, dann gilt für alle [mm] v\in [/mm] Bild f: f(v)=v.
Falls das nicht bekannt ist, sollest Du es schnell mal zeigen.
Nun zu dem, was Du tun wolltest:
zu zeigen: [mm] Bildf\subseteq [/mm] Kerng.
Beweis: Es sei [mm] v\in [/mm] Bild f.
Dann ist (s.o.) f(v)=v
<==>
0=v-f(v)=g(...)
==> [mm] ???\in [/mm] Kerng.
Also gilt die zu zeigende Behauptung.
Dem Eingangspost entnehme ich, daß Du zeigen sollst, daß g eine Projektion ist.
Dazu mußt Du erwähnen, daß g linear ist und zeigen, daß [mm] g=g^2.
[/mm]
Du mußt also vorrechnen, daß [mm] g(x)=g^2(x) [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] V gilt.
Beachte dabei, daß [mm] g^2(x)=g(g(x)) [/mm] bedeutet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Fr 06.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> wie hippeas ist auch mir nicht klar, wozu Dein Tun dienen
> soll.
> Schreib' immer auf, was Du zu zeigen gedenkst - dies hilft
> nicht zuletzt Dir, denn wie oft sitzt man da und fragt sich
> selbst: warum hab' ich das eigentlich gemacht?
>
> > Danke für deine schnelle Hilfe.
> > also ich habe geschrieben:
> > f(u)=v
>
> Was sind denn u und v?
>
> > 0=v-f(u)
> > 0=id(v)-f(u)
> > [mm]0=(id(v)-f(u))^2[/mm]
> > [mm]0=(id(v))^2 -2*f(v)+(f(v))^2[/mm]
>
> Warum verwandelt sich das u plötzlich in ein v?
> Richtig wäre: [mm]0=(id(v))^2 -2*\red{id(v)}f(\red{u})+(f(\red{u}))^2[/mm]
Hallo Angela,
Wie kann man aus 0=id(v)-f(u) folgern:
[mm]0=(id(v))^2 -2*\red{id(v)}f(\red{u})+(f(\red{u}))^2[/mm] ???
Wenn V ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wäre, ginge obiges.
Aberein Skalarprodukt haben wir nicht
Gruß FRED
>
> Falls es irgendeinen Grund für die Verwandlung gibt,
> müßte dieser erwähnt werden.
>
> > ...
>
> Was möchtest Du mit diesen Pünktchen ausdrücken?
>
> > 0=g(v)
>
> Woraus genau schließt Du das?
>
>
> Ich glaube, gerade dämmert mir, was Du zu tun gedenkst: Du
> willst zeigen, daß [mm]Bildf\subseteq[/mm] Kerng, richtig?
>
> Wir sollten dies für den Moment nochmal zurückstellen.
> Im Eingangspost ist vorausgesetzt, daß f eine Projektion
> ist. Ich gehe davon aus, daß Ihr uch schon ein wenig mit
> Projektionen beschäftigt habt.
> Wenn f eine Projektion ist, dann gilt für alle [mm]v\in[/mm] Bild
> f: f(v)=v.
> Falls das nicht bekannt ist, sollest Du es schnell mal
> zeigen.
>
> Nun zu dem, was Du tun wolltest:
>
> zu zeigen: [mm]Bildf\subseteq[/mm] Kerng.
>
> Beweis: Es sei [mm]v\in[/mm] Bild f.
>
> Dann ist (s.o.) f(v)=v
>
> <==>
>
> 0=v-f(v)=g(...)
>
> ==> [mm]???\in[/mm] Kerng.
>
> Also gilt die zu zeigende Behauptung.
>
>
> Dem Eingangspost entnehme ich, daß Du zeigen sollst, daß
> g eine Projektion ist.
> Dazu mußt Du erwähnen, daß g linear ist und zeigen,
> daß [mm]g=g^2.[/mm]
>
> Du mußt also vorrechnen, daß [mm]g(x)=g^2(x)[/mm] für alle [mm]x\in[/mm] V
> gilt.
> Beachte dabei, daß [mm]g^2(x)=g(g(x))[/mm] bedeutet.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Hallo Angela,
>
> Wie kann man aus 0=id(v)-f(u) folgern:
>
> [mm]0=(id(v))^2 -2*\red{id(v)}f(\red{u})+(f(\red{u}))^2[/mm] ???
>
> Wenn V ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wäre,
> ginge obiges.
>
> Aberein Skalarprodukt haben wir nicht
Ich frage mich schon die ganze Zeit, was, wenn [mm] $V\,$ [/mm] nur ein Vektorraum über einem Körper ist, denn die Schreibweise [mm] $v^2\,$ [/mm] für $v [mm] \in [/mm] V$ eigentlich bedeutet. Entweder ist's mir entfallen... oder man benutzt sie nur in Vektorräumen mit Skalarprodukt ? (Da wäre mir klar, was sie bedeuten sollte: Das Skalarprodukt zwischen [mm] $v\,$ [/mm] und sich selbst.) Ist das das, worauf Du hinweisen willst? Oder missverstehe ich da nochwas...
Generell sollte man hier mit Notationen vielleicht aufpassen: [mm] $g^2(x):=(g \circ [/mm] g)(x)$ und nicht [mm] $g^2(x):=(g(x))^2\,,$ [/mm] wie ich's gerne schonmal anderweitig definiere. Okay: Es steht in der Aufgabenstellung klar und deutlich drin - aber das heißt ja nicht, dass man nicht durch anderweitige (evtl. eigens definierte) Verwendung verwirrt werden kann...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Fr 06.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Hallo Angela,
> >
> > Wie kann man aus 0=id(v)-f(u) folgern:
> >
> > [mm]0=(id(v))^2 -2*\red{id(v)}f(\red{u})+(f(\red{u}))^2[/mm] ???
> >
> > Wenn V ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wäre,
> > ginge obiges.
> >
> > Aberein Skalarprodukt haben wir nicht
>
Hallo Marcel,
> Ich frage mich schon die ganze Zeit, was, wenn [mm]V\,[/mm] nur ein
> Vektorraum über einem Körper ist, denn die Schreibweise
> [mm]v^2\,[/mm] für [mm]v \in V[/mm] eigentlich bedeutet. Entweder ist's mir
> entfallen... oder man benutzt sie nur in Vektorräumen mit
> Skalarprodukt ?
man benutzt sie nur in Vektorräumen mit Skalarprodukt
FRED
> (Da wäre mir klar, was sie bedeuten
> sollte: Das Skalarprodukt zwischen [mm]v\,[/mm] und sich selbst.)
> Ist das das, worauf Du hinweisen willst? Oder missverstehe
> ich da nochwas...
>
> Generell sollte man hier mit Notationen vielleicht
> aufpassen: [mm]g^2(x):=(g \circ g)(x)[/mm] und nicht
> [mm]g^2(x):=(g(x))^2\,,[/mm] wie ich's gerne schonmal anderweitig
> definiere. Okay: Es steht in der Aufgabenstellung klar und
> deutlich drin - aber das heißt ja nicht, dass man nicht
> durch anderweitige (evtl. eigens definierte) Verwendung
> verwirrt werden kann...
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Ich frage mich schon die ganze Zeit, was, wenn [mm]V\,[/mm] nur ein
> > Vektorraum über einem Körper ist, denn die Schreibweise
> > [mm]v^2\,[/mm] für [mm]v \in V[/mm] eigentlich bedeutet. Entweder ist's mir
> > entfallen... oder man benutzt sie nur in Vektorräumen mit
> > Skalarprodukt ?
>
> man benutzt sie nur in Vektorräumen mit Skalarprodukt
Danke. Das macht dann auch Sinn!!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mal nebenbei:
> Danke für deine schnelle Hilfe.
> also ich habe geschrieben:
> f(u)=v
> 0=v-f(u)
> 0=id(v)-f(u)
> [mm]0=(id(v)-f(u))^2[/mm]
> [mm]0=(id(v))^2 -2*f(v)+(f(v))^2[/mm]
> ...
> 0=g(v)
> Bin mir nicht sicher ob mit m quadrieren richtig ist.
so ist das auch nur eine Sammlung von Gleichungen (Tabelle) ohne jeglichen Bezug zueinander. Benutze doch bitte die Folgepfeile-Symbole: Sie erleichtern Dir, zu überprüfen, was Du da gemacht hast. Äquivalent umgeformt, oder "nur" etwas notwendiges gefolgert... Oder, weil Du nicht aufgepasst hast, beim Kontrollieren aller "Folgerungen in alle Richtungen, ob das auch stimmt", herauszufinden, wo das, wo Du mal fälschlicherweise etwa behauptest, äquivalent zu was anderem zu sein, es doch nicht ist. (Weil Du irgendwo [mm] $\gdw$ [/mm] geschrieben hast, aber etwa [mm] $\Leftarrow$ [/mm] nicht gilt.)
Also:
[mm] $$f(u)=v\,$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 0=v-f(u)$$
[mm] $$\gdw [/mm] 0=id(v)-f(u)$$
ist alles noch korrekt, wegen [mm] $v=id(v)\,$ [/mm] für alle (betrachteten) [mm] $v\,.$
[/mm]
Was danach die Bedeutung des [mm] $(...)^2$ [/mm] ist, ist mir vollkommen unklar. Und in welchem Bezug das zu [mm] $0=g(v)\,$ [/mm] steht, noch viel mehr.
Beachte übrigens: [mm] $f^2$ [/mm] ist eine Funktion, die definiert ist durch [mm] $f^2=f \circ f\,.$ [/mm] Ist Dir klar, dass man für jede Funktion $f: M [mm] \to [/mm] N$ mit $f(M) [mm] \subseteq [/mm] M$ dann [mm] $f^2$ [/mm] bilden kann?
Irgendwie scheint's mir, dass hier der Eindruck entstanden ist, dass [mm] $f^2$ [/mm] etwa sowas bedeutet wie [mm] $f^2(x)=f(x)*f(x)=(f(x))^2$? [/mm] Aber dass dem gar nicht so sein kein, erklärt sich meistens (wie hier) alleine schon daran, dass man gar nicht weiß, was die Multiplikation [mm] $*\,$ [/mm] dann bedeuten sollte.
Zur Verdeutlichung:
In obiger Notation bedeutet für
$f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] und [mm] $f(x)=\sin(x)\,,$ [/mm] dass
[mm] $$f^2(x)=\sin(\sin(x))$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist, und daher ist i.a.
[mm] $$f^2(x) \not=(\sin(x))^2$$
[/mm]
(was vielleicht ein wenig unschön ist, da man etwa in der Analysis ja oft [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] eben als [mm] $(\sin(x))^2$ [/mm] interpretiert und dann eben NICHT als [mm] $\sin(\sin(x))\,;$ [/mm] aber [mm] $\sin: \IR \to \IR$ [/mm] auch selbst als Funktionssymbol benutzt wird).
P.S.: Komischerweise war Dir in der Ausgangsfrage aber wohl klar, dass [mm] $f^2(u)=f(f(u))$ [/mm] ist etc.. Irgendwie wäre es dann komisch, wenn Du da plötzlich durcheinandergekommen wärest. Aber vielleicht sollten wir mal klären: Was würdest Du Dir vom Quadrieren erhoffen? (Kann es auch sein, dass Du irgendwann einfach gedacht hast: Okay, ich rechne nun einfach mal wie im [mm] $\IR^n$ [/mm] mit euklidischem Skalarprodukt und der zugehörigen induzierten Norm?)
Gruß,
Marcel
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