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Hallo Leute,
Ich brauche eure Hilfe,
Denn ich sitze schon seit 6 Stunden an meine Übungsaufgaben und komme langsam durcheinander.
Und zwar muss ich diese Aufgabe bis Morgen erledigen:
Es sei K ein Körper und V ein Vektorraum über K. Ein Element
[mm] \pi \in [/mm] End(V) heißt eine Projektion, wenn [mm] \pi \circ \pi [/mm] = [mm] \pi [/mm] gilt.
Zeigen Sie:
(a) Für eine Projektion [mm] \pi [/mm] gilt: V = [mm] Bild(\pi) \oplus [/mm] Kern [mm] (\pi).
[/mm]
(b) Sind U und W Untervektorräume von V mit V = U [mm] \oplus [/mm] W, dann gibt es genau eine Projektion von V auf U längs W.
So viel weiß ich:
also [mm] \pi [/mm] ist eine lineare Abbildung,
also ist das [mm] Bild(\pi) [/mm] = {v [mm] \in [/mm] V | [mm] \pi(v) [/mm] = v }
und [mm] Kern(\pi) [/mm] = {v [mm] \in [/mm] V | [mm] \pi(v) [/mm] = 0 }
aber Damit komme ich im Moment irgendwie nicht weiter.
Hat jemand vielleicht ein Paar Tipps für mich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Di 07.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> (a) Für eine Projektion [mm]\pi[/mm] gilt: V = [mm]Bild(\pi) \oplus[/mm]
> Kern [mm](\pi).
[/mm]
Für $v [mm] \in [/mm] V$ gilt:
$v = [mm] \pi(v) [/mm] + v - [mm] \pi(v)$.
[/mm]
Es gilt: [mm] $\pi(v) \in Bild(\pi)$. [/mm] Zeige nun: [mm] $v-\pi(v) \in Kern(\pi)$, [/mm] also: [mm] $\pi(v-\pi(v)) [/mm] = 0$.
> (b) Sind U und W Untervektorräume von V mit V = U [mm]\oplus[/mm] W,
> dann gibt es genau eine Projektion von V auf U längs W.
Ist $v=u+w$ mit $u [mm] \in [/mm] U$, $w [mm] \in [/mm] W$, so setzt man:
[mm] $\pi(v):=u$.
[/mm]
Zeige nun, dass [mm] $\pi(\pi(v)) [/mm] = [mm] \pi(v)$ [/mm] gilt.
Liebe Grüße
Julius
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