Produktregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Di 13.04.2010 | | Autor: | Annsi |
| Aufgabe | Stellen Sie die Zwischenschritte auf.
Ausgangsgleichung:
[mm] \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] = [mm] \bruch{u(x_{0}+h)*v(x_{0}+h)-u(x_{0})*v(x_{0})}{h}
[/mm]
Endgleichung:
[mm] f'(x_{0})=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) [/mm] |
Ich bin nun so weit, dass ich sagen kann
[mm] u(x_{0}+h)*v(x_{0}+h)-u(x_{0})*v(x_{0}) [/mm] = [mm] (u(x_{0}+h)-u(x_{0}))*v(x_{0})+u(x_{0}+h)*(v(x_{0}+h)-v(x_{0}))
[/mm]
Für [mm] h\to [/mm] 0 ist f'(x)= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
Also kann ich auch sagen:
Für [mm] h\to [/mm] 0 ist u'(x)= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{u(x_{0}+h)-u(x_{0})}{h} [/mm]
Und
Für [mm] h\to [/mm] 0 ist v'(x)= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{v(x_{0}+h)-v(x_{0})}{h}
[/mm]
Also habe ich jetzt
[mm] f'(x_{0}) [/mm] = [mm] u'(x_{0})* v(x_{0})+u(x_{0}+h) *v'(x_{0})
[/mm]
Meine Frage nun, wie bekomme ich den mittleren Teil ( [mm] v(x_{0})+u(x_{0}+h) [/mm] ) so, dass da nur noch steht
f'(x)= u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
Vielen Dank im Voraus!!
Anni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Di 13.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anni!
Es wird hier eine "geschickte Null" addiert:
[mm] $$\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{u(x_{0}+h)*v(x_{0}+h)-u(x_{0})*v(x_{0})}{h} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{u(x_{0}+h)*v(x_{0}+h) \ \blue{+u(x_0)*v(x_0+h)-u(x_0)*v(x_0+h)} \ -u(x_{0})*v(x_{0})}{h}$$
[/mm]
Nun den Bruch geschickt in zwei Teilbrüche zerlegen und anschließend ausklammern.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Di 13.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh deine frage nicht ganz, du hast doch schon alles, denn bei dem lim wurde doch aus [mm] u(x_0+h) [/mm] einfach [mm] u(x_0) [/mm] und du bist mit dem beweis fertig.
da steht dann kein "mittleres" Glied mehr!
gruss leduart
|
|
|
|
