Produktregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Für differenzierbare Funktionen f,g: [mm] R^n [/mm] -> R rechne man nach:
(i) grad(fg) = g grad (f) + f grad(g)
(ii) [mm] \nabla [/mm] (fg) = f [mm] \nabla(g) [/mm] + 2 (gradf) (gradg) + g [mm] \nabla [/mm] (f) |
Guten Morgen liebe MAthe freaks ! 
versuche gerade diese aufgabe zu verstehen, hab auch lösungsskizzen zu teil(i), ist mir aber nicht wirklich klar:
ansatz:
f(y) - f(x) = [mm] gradf(y-x)+R_1 [/mm] mit [mm] \limes_{y\rightarrow\x} \bruch{R_1(y)}{|x-y|}=0
[/mm]
g(y)-g(x) = grad g [mm] (y-x)+R_2(y) [/mm] mit [mm] \limes_{y\rightarrow\x} \bruch{R_2(y)}{|x-y|}=0
[/mm]
wie kommt man darauf? hat das was mit dieser definition von totaler diffbkeit zu tun?
(f(x,y) = [mm] f(x_0,y_0) [/mm] + [mm] \bruch{df}{dx}(x_0,y_0)+\bruch{df}{dy}(y-y_0)+R(x) [/mm] ) ??
weiter heißt es:
f(y) g(y) - f(x) g(x) (warum berechnet man nun diesen term, ist das das gleiche wie "grad(fg)" ???)
= f(y) g(y) - f(y) g(x) + f(y) g(x) - f(x) g(x)
= f(y)[g(y) - g(x)] + g(x) [f(y) - f(x)]
=[ f(y) grad(g) + g(x) grad(f)] (y-x) + f(y) [mm] R_2(y) [/mm] + g(x) [mm] R_1(y)
[/mm]
die umformungen versteh ich sogar .
jetzt wird noch gezeigt dass die hinteren 2 summanden gegen 0 gehen:
da f(x), g(x) beschränkt und stetig (woher weiß ich das??) gilt:
[mm] \limes_{y\rightarrow\x} [/mm] f(y) = f(x) ok.
somit:
[mm] \bruch{R_2(y) f(y)}{|x-y|} [/mm] -> 0 für y gegen x. das versteh ich nun wieder nicht, warum ist das so?
analog warum gilt:
[mm] \bruch{R_1(y) g(y)}{|x-y|} [/mm] -> 0 für y->x. ?
würde mich sehr freuen, wenn ihr mir diese schritte erklären könntet!!!!
bei der (ii) bin ich leider nohc nicht wirklich weit gekommen. [mm] \nabla [/mm] soll dieser laplace operator sein (eigentlich steht das dreieck andersrum, aber ich weiß nicht wie man das hier eingibt *sorry*):
[mm] \nabla f'(x_1,...,x_n) [/mm] = [mm] \bruch{d²f}{(dx_1)²}(x) [/mm] + [mm] \bruch{d²f}{(dx_2)²}(x) [/mm] + ... + [mm] \bruch{d²f}{(dx_n)²}(x)
[/mm]
nur wie kann ich damit die behauptung zeigen??
viele grüße
riley
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Hi riley,
> Für differenzierbare Funktionen f,g: [mm]R^n[/mm] -> R rechne man
> nach:
> (i) grad(fg) = g grad (f) + f grad(g)
> (ii) [mm]\nabla[/mm] (fg) = f [mm]\nabla(g)[/mm] + 2 (gradf) (gradg) + g
> [mm]\nabla[/mm] (f)
> Guten Morgen liebe MAthe freaks !
> versuche gerade diese aufgabe zu verstehen, hab auch
> lösungsskizzen zu teil(i), ist mir aber nicht wirklich
> klar:
>
> ansatz:
> f(y) - f(x) = [mm]gradf(y-x)+R_1[/mm] mit [mm]\limes_{y\rightarrow\x} \bruch{R_1(y)}{|x-y|}=0[/mm]
>
> g(y)-g(x) = grad g [mm](y-x)+R_2(y)[/mm] mit
> [mm]\limes_{y\rightarrow\x} \bruch{R_2(y)}{|x-y|}=0[/mm]
> wie kommt
> man darauf? hat das was mit dieser definition von totaler
> diffbkeit zu tun?
> (f(x,y) = [mm]f(x_0,y_0)[/mm] +
> [mm]\bruch{df}{dx}(x_0,y_0)+\bruch{df}{dy}(y-y_0)+R(x)[/mm] ) ??
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") wenn du genau hinschaust, ist es genau dasgleiche, einmal in vektor- einmal in komponenten-schreibweise...
> weiter heißt es:
> f(y) g(y) - f(x) g(x) (warum berechnet man nun diesen
> term, ist das das gleiche wie "grad(fg)" ???)
schau nochmal in die obige definition von diffbarkeit, es geht ja darum die lokale abweichung der funktion von einem funktionswert durch die ableitung linear zu approximieren...
> = f(y) g(y) - f(y) g(x) + f(y) g(x) - f(x) g(x)
> = f(y)[g(y) - g(x)] + g(x) [f(y) - f(x)]
> =[ f(y) grad(g) + g(x) grad(f)] (y-x) + f(y) [mm]R_2(y)[/mm] + g(x)
> [mm]R_1(y)[/mm]
> die umformungen versteh ich sogar .
> jetzt wird noch gezeigt dass die hinteren 2 summanden
> gegen 0 gehen:
>
> da f(x), g(x) beschränkt und stetig (woher weiß ich das??)
> gilt:
> [mm]\limes_{y\rightarrow\x}[/mm] f(y) = f(x) ok.
> somit:
> [mm]\bruch{R_2(y) f(y)}{|x-y|}[/mm] -> 0 für y gegen x. das versteh
> ich nun wieder nicht, warum ist das so?
nochmal : schau wieder in die definition: [mm]\bruch{R_2(y) }{|x-y|}[/mm] geht nach Vor. gegen 0 wenn y gegen x geht. wenn du jetzt noch f dazupackst, das in x diffbar, also auch stetig ist und in einer umgebung von x beschränkt, dann ändert sich der grenzwert nicht.
> analog warum gilt:
> [mm]\bruch{R_1(y) g(y)}{|x-y|}[/mm] -> 0 für y->x. ?
>
> würde mich sehr freuen, wenn ihr mir diese schritte
> erklären könntet!!!!
>
> bei der (ii) bin ich leider nohc nicht wirklich weit
> gekommen. [mm]\nabla[/mm] soll dieser laplace operator sein
> (eigentlich steht das dreieck andersrum, aber ich weiß
> nicht wie man das hier eingibt *sorry*):
so wie du es geschrieben hast (mit nabla), ist die aussage natürlich unsinn...
> [mm]\nabla f'(x_1,...,x_n)[/mm] = [mm]\bruch{d²f}{(dx_1)²}(x)[/mm] +
> [mm]\bruch{d²f}{(dx_2)²}(x)[/mm] + ... + [mm]\bruch{d²f}{(dx_n)²}(x)[/mm]
> nur wie kann ich damit die behauptung zeigen??
habt ihr den laplace-operator zufällig so eingeführt:
[mm] $\Delta u=\nabla \cdot \nabla u=\operatorname{div} \operatorname{grad} [/mm] u$
Dann kann man die aufgabe nämlich sehr elegant mithilfe der ersten aufgabe und der produktregel für die Divergenz beweisen:
[mm] $\Delta(fg)=\nabla\cdot \nabla(fg)=....$
[/mm]
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!!!
Ganz vielen Dank für deine erklärungen, so macht das ganze sinn und ich versteh den lösungsweg *juhu*.
hab aber nochmal ne rückfrage, du hast geschrieben, dass die funktion stetig ist und deshalb in einer umgebung von x auch beschränkt. folgt aus der stetigkeit immer auch beschränktheit?
zu dem zweiten teil, unser prof hat uns wie gesagt nur das dazu angeschrieben:
[mm] \Delta f'(x_1,...x_n) [/mm] = [mm] \bruch{d²f}{(dx_1)²}(x) [/mm] + [mm] \bruch{d²f}{(dx_2)²}(x)+...+\bruch{d²f}{(dx_n)²}
[/mm]
und als beispiel:
[mm] \Delta (e^{xy}) [/mm] = ( [mm] \bruch{d²}{dx²} [/mm] + [mm] \bruch{d²}{dy²} e^{xy}=...= [/mm] (y²+x²) [mm] e^{xy}
[/mm]
das problem ist, wir haben nabla überhaupt nicht eingeführt, hab in nem buch mal was dazu gelesen...
kann man das wenn auch weniger elegant auch ohne nabla zeigen? vor allem wie?
vielen grüße
riley
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Hi riley,
> Hi Matthias!!!
>
> Ganz vielen Dank für deine erklärungen, so macht das ganze
> sinn und ich versteh den lösungsweg *juhu*.
Das freut mich... 
> hab aber nochmal ne rückfrage, du hast geschrieben, dass
> die funktion stetig ist und deshalb in einer umgebung von x
> auch beschränkt. folgt aus der stetigkeit immer auch
> beschränktheit?
natürlich nur lokal... f und g sind auf dem ganzen [mm] $\IR^n$ [/mm] diffbar., also auch stetig. in einer kleinen umgebung sind sie dann auch beschränkt. auf dem ganzen [mm] $\IR^n$ [/mm] müssen sie natürlich nicht beschränkt sein!
> zu dem zweiten teil, unser prof hat uns wie gesagt nur das
> dazu angeschrieben:
> [mm]\Delta f'(x_1,...x_n)[/mm] = [mm]\bruch{d²f}{(dx_1)²}(x)[/mm] +
> [mm]\bruch{d²f}{(dx_2)²}(x)+...+\bruch{d²f}{(dx_n)²}[/mm]
> und als beispiel:
> [mm]\Delta (e^{xy})[/mm] = ( [mm]\bruch{d²}{dx²}[/mm] + [mm]\bruch{d²}{dy²} e^{xy}=...=[/mm]
> (y²+x²) [mm]e^{xy}[/mm]
> das problem ist, wir haben nabla überhaupt nicht
> eingeführt, hab in nem buch mal was dazu gelesen...
> kann man das wenn auch weniger elegant auch ohne nabla
> zeigen? vor allem wie?
dann musst du einfach die produktregel für die partiellen ableitungen anwenden.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Di 06.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!
Danke für den Tipp mit Produktregel anwenden. ich versteh das aber noch nicht ganz, da bei der Produktregel ja immer nur einmal nach einer variablen abgeleitet wird? und bei diesem Operator muss man ja immer zweimal nach [mm] x_i [/mm] ableiten?
bedeutet das [mm] \Delta [/mm] f g = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{d²f}{dx_i} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{m} \bruch{d²g}{dy_i} [/mm] ??
vorallem wie komm ich mit der produktregel auf den term in der mitte mit 2(grad f) (grad g) ?
viele grüße
riley
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also,
[mm] $\Delta(f\cdot [/mm] g):= [mm] \summe_{i=1}^{n}{ \bruch{ \partial^2(fg)}{\partial x_i ^2}}$
[/mm]
überleg dir mal, wie du das für n=1 ausrechnen kannst, für allgemeine n ist es auch dann nicht mehr viel schwerer.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Di 06.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!!
cool, danke dass du mir das so hingeschrieben hast, das hat mich jetzt wirklich weitergebracht *indieluftspring*
also für n=1 : (bin mir nicht ganz sicher ob meine bezeichnungen richtig sind)
[mm] \bruch{d²(fg)}{dx_1²} [/mm] = [mm] \bruch{d(fg)}{dx_1} [/mm] (g [mm] \bruch{df}{dx_1} [/mm] + f [mm] \bruch{dg}{dx_1}) [/mm]
= g [mm] \bruch{d²f}{dx_1²} [/mm] + [mm] \bruch{df}{dx_1} \bruch{dg}{dx_1} [/mm] + f [mm] \bruch{d²g}{dx_1²}+ \bruch{df}{dx_1} \bruch{dg}{dx_1}
[/mm]
= g [mm] \bruch{d²f}{dx_1²} [/mm] + 2 [mm] \bruch{df}{dx_1} \bruch{dg}{dx_1} [/mm] + f [mm] \bruch{d²g}{dx_1²}
[/mm]
= g [mm] \Delta [/mm] f + 2 (grad f) (grad g) + f [mm] \Delta [/mm] g
und nun für n:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{d²(fg)}{dx_i} [/mm] = grad(fg) (g grad f + f grad g)
= g [mm] \Delta [/mm] f + (grad f grad g) f [mm] \Delta [/mm] g + (grad f) (grad g)
= g [mm] \Delta [/mm] f + 2 (grad f) (grad g) + f [mm] \Delta [/mm] g
ist das richtig so?
d.h. wenn ich grad f nochmal ableite bekomm ich [mm] \Delta?
[/mm]
und darf ich [mm] \bruch{df}{dx_i} [/mm] = grad f schreiben?
ist nicht ganz korrekt, oder ... ??
viele grüße
Riley
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Hi riley,
> Hi Matthias!!
> cool, danke dass du mir das so hingeschrieben hast, das
> hat mich jetzt wirklich weitergebracht *indieluftspring*
> also für n=1 : (bin mir nicht ganz sicher ob meine
> bezeichnungen richtig sind)
> [mm]\bruch{d²(fg)}{dx_1²}[/mm] = [mm]\bruch{d(fg)}{dx_1}[/mm] (g
> [mm]\bruch{df}{dx_1}[/mm] + f [mm]\bruch{dg}{dx_1})[/mm]
nicht ganz: besser :
$ = [mm] \bruch{d}{dx_1} (g\bruch{df}{dx_1} [/mm] + [mm] f\bruch{dg}{dx_1})$
[/mm]
> = g [mm]\bruch{d²f}{dx_1²}[/mm] + [mm]\bruch{df}{dx_1} \bruch{dg}{dx_1}[/mm]
> + f [mm]\bruch{d²g}{dx_1²}+ \bruch{df}{dx_1} \bruch{dg}{dx_1}[/mm]
>
> = g [mm]\bruch{d²f}{dx_1²}[/mm] + 2 [mm]\bruch{df}{dx_1} \bruch{dg}{dx_1}[/mm]
> + f [mm]\bruch{d²g}{dx_1²}[/mm]
> = g [mm]\Delta[/mm] f + 2 (grad f) (grad g) + f [mm]\Delta[/mm] g
das stimmt soweit!
>
> und nun für n:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{d²(fg)}{dx_i}[/mm] = grad(fg) (g grad f
> + f grad g)
nein, so schnell geht das nicht. du musst schon für jeden einzelnen summanden wie oben die partiellen ableitungen berechnen: wie oben, nur mit [mm] $x_i$ [/mm] und halt der summe.
> = g [mm]\Delta[/mm] f + (grad f grad g) f [mm]\Delta[/mm] g + (grad f) (grad
> g)
> = g [mm]\Delta[/mm] f + 2 (grad f) (grad g) + f [mm]\Delta[/mm] g
>
> ist das richtig so?
> d.h. wenn ich grad f nochmal ableite bekomm ich [mm]\Delta?[/mm]
nicht ganz: der gradient ist die verallgemeinerung der ersten ableitung für skalare funktionen, ja. aber: der gradient ist ein vektor, der laplace-operator ist dagegen eine skalare funktion, und ein spezieller differential-operator zweiter ordnung.
> und darf ich [mm]\bruch{df}{dx_i}[/mm] = grad f schreiben?
> ist nicht ganz korrekt, oder ... ??
nein, der gradient ist ein vektor, dessen komponenten die partiellen ableitungen sind.
viele grüße
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Di 06.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!
Danke dass dus nochmal durchgeschaut hast!
warum gilt dann eigentlich hier die gleichheit:
g [mm] \bruch{d²f}{dx_1²} [/mm] + 2 [mm] \bruch{df}{dx_1} \bruch{dg}{dx_1} [/mm] + f [mm] \bruch{d²g}{dx_1²} [/mm] = g [mm] \Delta [/mm] f + 2 (grad f) (grad g) + f [mm] \Delta [/mm] g
ist das weil ich da dann nur [mm] x_1 [/mm] habe und deshalb gleich dem grad f ?
schade ;) , habs nochmal versucht mit der summe:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{d²(fg)}{dx_i²} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ( [mm] \bruch{d(fg)}{dx_i} [/mm] ( g [mm] \bruch{df}{dx_i} [/mm] + f [mm] \bruch{dg}{dx_i}))
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ( g [mm] \bruch{d²f}{dx_i²} [/mm] + 2 [mm] \bruch{df}{dx_i} \bruch{dg}{dx_i} [/mm] + f [mm] \bruch{d²g}{dx_i²})
[/mm]
= g [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{d²f}{dx_i} [/mm] + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{df}{dx_i} \bruch{dg}{dx_i} [/mm] + f [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{d²g}{dx_i²} [/mm] = g [mm] \Delta [/mm] f + 2 (grad f) (grad g) + f [mm] \Delta [/mm] g
so besser?
nur bei dem letzten gleichheitszeichen, ich versteh noch nicht wie ich von dem [mm] \bruch{df}{dx_i} [/mm] dann auf (grad f) komme, den unterschied hast du mir ja grad erklärt...
viele grüße
riley
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