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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Sa 30.04.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Es seien [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \mu) [/mm] ein [mm] \sigma-endlicher [/mm] Maßraum, [mm] f:\Omega \to \IR [/mm] eine nciht negative Funktion und [mm] M=\{ (\omega, t)\in \Omega \times \IR: 0\leq t \leq f(\omega)\}.
[/mm]
zeigen sie:
a) f ist genau dann [mm] \mathcal{A} [/mm] messbar, wenn M [mm] \in \mathcal{A}\otimes \mathcal{B}.
[/mm]
b) Ist f [mm] \mathcal{A} [/mm] messbar so gilt: [mm] \int _\Omega [/mm] f [mm] d\mu=\mu \otimes \lambda [/mm] (M).
hinweis: betrachte funktion [mm] h:\Omega \times \IR \to \IR, h(\omega, t)=f(\omega [/mm] )-t |
also ich hab mir zu b) folgendes gedacht:
da f messbar, ist M nach a) in [mm] \mathcal{A}\otimes \mathcal{B}, [/mm] also
[mm] \mu \otimes \lambda (M)=\int \lambda (M_\omega) d\mu [/mm]
mit [mm] M_\omega= \{t \in \IR: 0\leq t \leq f(\omega)\}
[/mm]
also
[mm] \mu \otimes \lambda (M)=\int \lambda (M_\omega) d\mu =\int (f(\omega)-0) d\mu =\int [/mm] f [mm] d\mu.
[/mm]
geht das so? oder kann man das so einfach nicht machen? muss ich bei b) vielleicht mit dem hinweis arbeiten? und hat noch jemand einen tipp für a)??
wäre super, wenn mir noch jemand helfen kann.
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Fry |
Hey,
also der zweite Teil sieht sehr gut aus. Meiner Meinung richtig.
Alternativ mit Fubini:
[mm]\mu\otimes\lambda(M)=\int 1_M d(\mu \otimes \lambda)=\int \int 1_\Omega(\omega)1_{[0,f(\omega)]}(t)\lambda(dt)\mu(dw)=\int f(w)\mu(dw)[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Fry |
Zum ersten Teil:
Sei f messbar. Es gilt ja [mm] M=\{h\ge 0\}\cap(\Omega\times R_{\ge0})
[/mm]
Wenn man zeigen kann, dass die ersten beiden Mengen messbar sind, dann ist auch M messbar. Kannst ja h zerlegen in h=k-g
mit [mm] g:(w,t)\to [/mm] t und [mm] k:(w,t)\to [/mm] f(w). Jetzt noch zeigen, dass k,g messbar sind. Dann bist du mit der einen Richtung fertig.
Nun M messbar.
[mm] \mathcal{B} [/mm] wird erzeugt von den Mengen [mm] [t,\infty) [/mm] mit [mm] t\in\IR.
[/mm]
Reicht also zu zeigen, dass [mm] f^{-1}([t,\infty))=\{f\ge t\}\in\mathcal{A}
[/mm]
für alle [mm] t\in\IR. [/mm] Für [mm] t\ge0 \{f\ge t\}=M_t\in\mathcal{A}, [/mm] da der t-Schnitt auch messbar ist, falls M messbar. Für t<0 gilt: [mm] \{f\ge t\}=\{f\ge0\}\in\mathcal{A} [/mm] nach obigem.
Gruß
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 So 01.05.2011 | | Autor: | Fry |
Upps, Doppelbenennung mit f ist schlecht ;). korrigiert
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