Produktdarst. $\cos(\pi z)$ < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie: Für [mm] $z\in\IC$ [/mm] gilt:
[mm] $\cos(\pi\cdot{}z)=\prod\limits_{k\in\IZ}\left(1-\frac{z}{k+\frac{1}{2}}\right)\exp\left(\frac{z}{k+\frac{1}{2}}\right)$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe versucht, obige Produktdarstellung von [mm] $\cos(\pi\cdot{}z)$ [/mm] aus der Produktdarstellung von [mm] $\sin(\pi\cdot{}z)=\pi\cdot{}z\cdot{}\prod\limits_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\left(1-\frac{z}{k}\right)\exp\left(\frac{z}{k}\right)$ [/mm] herzuleiten, die wir in der VL bewiesen haben.
Dazu habe ich mit gedacht, schreibe mal mit dem Additionstheorem [mm] $\cos(\pi\cdot{}z)\cdot{}\sin(\pi\cdot{}z)=\frac{1}{2}\cdot{}\sin(2\pi\cdot{}z)$ [/mm] und setze ein...
Es ist dann [mm] $\cos(\pi\cdot{}z)\cdot{}\sin(\pi\cdot{}z)=\frac{1}{2}\sin(2\pi\cdot{}z)=\frac{1}{2}\cdot{}2\pi\cdot{}\prod\limits_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\left(1-\frac{2z}{k}\right)\exp\left(\frac{2z}{k}\right)=\pi\cdot{}\prod\limits_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\left(1-\frac{2z}{k}\right)\exp\left(\frac{2z}{k}\right)$
[/mm]
Nun teilen durch [mm] $\sin(\pi\cdot{}z)$ [/mm] in der obigen Produktdarstellung:
[mm] $\Rightarrow \cos(\pi\cdot{}z)=\frac{\pi\cdot{}\prod\limits_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\left(1-\frac{2z}{k}\right)\exp\left(\frac{2z}{k}\right)}{\pi\cdot{}\prod\limits_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\left(1-\frac{z}{k}\right)\exp\left(\frac{z}{k}\right)}=...=\prod\limits_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\left(1-\frac{z}{k-z}\right)\exp\left(\frac{z}{k}\right)$
[/mm]
So, und hier hört's auf, ich komme nicht auf die geforderte Darstellung ![[scheisskram]](/images/smileys/scheisskram.gif "[scheisskram]")
Weiß jemand Rat?
Vielen Dank vorab
LG
schachuzipus
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Zunächst muß es
[mm]\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2z \cdot \prod_{k \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}} \ldots[/mm]
heißen (später fehlt das [mm]z[/mm] noch einmal). Und dann zerlege die Menge der Summationsindizes in gerade und ungerade Zahlen. Substituiere entsprechend [mm]k[/mm] durch [mm]2k[/mm] für [mm]k \in \mathbb{Z} , \, k \neq 0[/mm] bzw. [mm]k[/mm] durch [mm]2k+1[/mm] für [mm]k \in \mathbb{Z}[/mm].
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Hallo Leopold,
danke für den Tipp mit der Indexunterscheidung, werde ich gleich mal probieren ...
Und das "z" habe ich im ganze copy&paste-Wust vergessen, von meinem Blatt mit abzutippen, ist zum Glück nicht so schlimm, weil es sich wegkürzt, aber danke auch für diesen Hinweis.
Beste Grüße
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ich muss nochmel hachhaken, ich krieg's einfach nicht gebacken.
Ich schreibe also [mm] $\prod\limits_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\left(1-\frac{z}{k-z}\right)\exp\left(\frac{z}{k}\right) =\underbrace{\prod\limits_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\left(1-\frac{z}{2k-z}\right)\exp\left(\frac{z}{2k}\right)}_{k gerade}\cdot{}\underbrace{\prod\limits_{k\in\IZ}\left(1-\frac{z}{2k+1-z}\right)\exp\left(\frac{z}{2k+1}\right)}_{k ungerade}$ [/mm]
[mm] $=\prod\limits_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\left(1-\frac{z}{2k-z}\right)\left(1-\frac{z}{2k+1-z}\right)\exp\left(\frac{z}{2k}+\frac{z}{2k+1}\right)$
[/mm]
Das bringt mich aber nach Erweitern und einigem Rumrechnen leider auch nicht auf den grünen Zweig, zu dem ich hin möchte.
Kann bitte nochmal jemand kräftig schubsen
Danke im Voraus
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Di 08.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie: Für [mm]z\in\IC[/mm] gilt:
>
> [mm]\cos(\pi\cdot{}z)=\prod\limits_{k\in\IZ}\left(1-\frac{z}{k+\frac{1}{2}}\right)\exp\left(\frac{z}{k+\frac{1}{2}}\right)[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe versucht, obige Produktdarstellung von
> [mm]\cos(\pi\cdot{}z)[/mm] aus der Produktdarstellung von
> [mm]\sin(\pi\cdot{}z)=\pi\cdot{}z\cdot{}\prod\limits_{k\in\IZ\setminus\{0\}}\left(1-\frac{z}{k}\right)\exp\left(\frac{z}{k}\right)[/mm]
> herzuleiten, die wir in der VL bewiesen haben.
Das ist eine sehr gute Idee, benutz doch einfach, dass [mm] $\cos(z) [/mm] = [mm] \sin(z [/mm] + [mm] \frac{\pi}{2})$ [/mm] ist (das folgt z.B. aus den Additionstheoremen oder aus der Betrachtung von [mm] $\exp(i [/mm] z + i [mm] \frac{\pi}{2}) [/mm] = i [mm] \exp(i [/mm] z)$).
(Ob die Formeln von dir stimmen hab ich nicht nachgeschaut.)
LG Felix
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Hallo Felix,
danke auch für deinen Tipp, habe es aber nun mit "meiner" Variante hinbekommen, war ganz einfach, hatte nur einen großen Bretterzaun vorm Kopf
LG
schachuzipus
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