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| Aufgabe | | Man zeige, dass im Ring [mm] \IZ[\wurzel{-3}] [/mm] für das Ideal [mm] a=(2,1+\wurzel{-3}) [/mm] gilt [mm] a^{2}=(2)*a [/mm] und [mm] (2)\not=a. [/mm] |
[mm] \IZ[\wurzel{-3}]=(a+b\wurzel{-3}) [/mm] für [mm] a,b\in\IZ
[/mm]
Also, ich hätte dazu erst mal das Produkt ausgerechnet. Dann müsste ja gelten:
a*a
[mm] =(2,1+\wurzel{-3})(2,1+\wurzel{-3})
[/mm]
[mm] =(4,2+2\wurzel{-3},-2+2\wurzel{-3})
[/mm]
[mm] =(4,2+2\wurzel{-3},4)
[/mm]
Kann ich jetzt hier schon sehen, dass das (2)*a ist? Ich sehe nämlich nichts. Oder habe ich mich verrechnet?
Die (2) ist doch so definiert oder: [mm] (2)=2*\IZ[\wurzel{-3}]=(2a+2b\wurzel{-3})
[/mm]
Um das das zweite zu zeigen müsste ich ja nur ein Element finden, das in (2) ist und nicht in a oder anders herum.
Könnte das z.B., wenn ich a=b=0 setze, ist (2)=0, aber [mm] a\not=0.
[/mm]
Stimmt das so? Bitte um Hilfe!
Viele Grüße
Daniel
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[mm]\mathfrak{a} = (2,1 + \sqrt{-3})[/mm] wird von 2 und [mm]1 + \sqrt{-3}[/mm] erzeugt. Dann wird [mm]\mathfrak{a}^2[/mm] von allen möglichen Produkten der Erzeugenden erzeugt. Das sind
[mm]u = 2 \cdot 2 = 4[/mm]
[mm]v = 2 \cdot \left( 1 + \sqrt{-3} \right) = 2 + 2 \sqrt{-3}[/mm]
[mm]w = \left( 1 + \sqrt{-3} \right) \left( 1 + \sqrt{-3} \right) = -2 + 2 \sqrt{-3}[/mm]
Nun gilt aber [mm]w = v - u[/mm], und damit ist [mm]w[/mm] überflüssig, denn bereits [mm]u,v[/mm] erzeugen [mm]\mathfrak{a}^2[/mm]:
[mm]\mathfrak{a}^2 = (4 , 2 + 2 \sqrt{-3} )[/mm]
Um nun [mm](2) \neq \mathfrak{a}[/mm] zu zeigen, beachte, daß wegen [mm]2 \in \mathfrak{a}[/mm] auf jeden Fall [mm](2) \subseteq \mathfrak{a}[/mm] gilt. Du mußt daher zeigen, daß [mm]\mathfrak{a} \not \subset (2)[/mm] gilt. Dazu mußt du nur ein einziges Element finden, das in [mm]\mathfrak{a}[/mm], aber nicht in [mm](2)[/mm] liegt. Das liegt aber auf der Hand.
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Vielen Dank! Jetzt ist mir das um einiges klarer!
Daniel
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