Probleme mit Transposition < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Lunai |
| Aufgabe | | T = (1 5 3 4 2) = (2 5) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin im Moment dabei für lineare Algebra zu lernen und habe mich bei den Transpositionen festgebissen :-(.
In unserem Skript ist die Aufgabe
T = (1 5 3 4 2) gelöst mit sign T = [mm] (-1)^5 [/mm] = -1
Wieso ^5?! Eigentlich doch nur ^1 oder habe ich das Thema nicht ganz verstanden?!
Und wieso ist sign T überhaupt immer -1. Den Beweis dazu verstehe ich leider nicht :-(.
Kann mir dabei vll jemand helfen?
Danke, Lunai
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> T = (1 5 3 4 2) = (2 5)
> Hallo,
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> ich bin im Moment dabei für lineare Algebra zu lernen und
> habe mich bei den Transpositionen festgebissen :-(.
> In unserem Skript ist die Aufgabe
> T = (1 5 3 4 2) gelöst mit sign T = [mm](-1)^5[/mm] = -1
> Wieso ^5?! Eigentlich doch nur ^1 oder habe ich das Thema
> nicht ganz verstanden?!
> Und wieso ist sign T überhaupt immer -1. Den Beweis dazu
> verstehe ich leider nicht :-(.
> Kann mir dabei vll jemand helfen?
>
> Danke, Lunai
Hallo Lunai,
bei dieser Aufgabe finde ich die Schreibweise problematisch
oder wenigstens erklärungsbedürftig. Wurde da wirklich nur
eine Sorte Klammern verwendet ?
Es scheint sich auf der linken Seite um eine Permutation
zu handeln, die man deutlicher z.B. so schreiben würde:
[mm] $\pmat{1&2&3&4&5\\1&5&3&4&2}$
[/mm]
(jedes Element der oberen Zeile wird auf das darunter
stehende Element abgebildet)
Auf der rechten Seite ist diese Permutation, die ja offen-
sichtlich eine einfache Transposition (Vertauschung zweier
Elemente) darstellt, in Zykelschreibweise gemeint.
Würde man die linke (ganz analog notierte) Klammer analog
als Zykel lesen, hätte man eine ganz andere Permutation, nämlich:
[mm] $\pmat{1&2&3&4&5\\5&2&4&2&3}$
[/mm]
Solche Schreibweisen zu vermischen, kann ziemlich
katastrophal sein. Ich würde vorschlagen, eine nicht
in Zykelschreibweise gemeinte, vollständig notierte
Permutation z.B. mit eckigen Klammern zu schreiben.
Das Beispiel würde dann so aussehen:
T = <1 5 3 4 2> = (2 5)
Um das Signum von T zu bestimmen, kann man einerseits
jetzt einfach sehen, dass T aus einer einzigen Transposition
(eben der vertauschung von 2 und 5) besteht. Also ist
sgn(T) = [mm] (-1)^1 [/mm] = -1
Man könnte aber T auch aus der Originalanordnung der
Zahlen durch schrittweise Transpositionen benachbarter
Elemente erzeugen:
<1 2 3 4 5>
<1 3 2 4 5>
<1 3 2 5 4>
<1 3 5 2 4>
<1 3 5 4 2>
<1 5 3 4 2>
Da 5 Vertauschungsschritte gemacht wurden, ist
sgn(T) = [mm] (-1)^5 [/mm] = -1
LG Al-Chw.
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Zu erst mal als Tipp:
Du hast zwei verschiedene Schreibweisen für Permutationen benutzen wollen, hast aber de facto die gleiche benutzt.
Es ist:
T = [mm] $\pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 5 & 3 & 4 & 2}$
[/mm]
Das ist die Permutation in einer tabellarischen Schreibweise (keine Ahnung, ob es dafür einen Fachbegriff gibt^^).
Wenn du nur eine Klammer schreibst, dann ist damit im Normalfall eine Permutation in Zykelschreibweise gemeint, wie in deinem zweiten Term:
T = [mm] $\pmat{2 & 5}$
[/mm]
Hierbei werden die Elemente auch öfters (um Verwirrung vorzubeugen) mit Kommas abgetrennt:
T = (2,5)
Dies bedeutet, dass die 2 auf die 5 abgebildet wird und die 5 auf die 2.
In deiner anfänglichen Schreibweise:
T = (1 5 3 4 2)
würde das folgende Permutation bedeuten:
[mm] $\begin{matrix} 1 & \to & 5 \\
5 & \to & 3 \\
3 & \to & 4 \\
4 & \to & 2 \\
2 & \to & 1\end{matrix}$
[/mm]
Also bitte nicht die Schreibweisen auf missverständliche Weise vermischen.^^
Nun aber zu deiner Frage:
Es gibt verschiedene Wege das Signum einer Permutation zu berechnen.
Was bei dem [mm] $(-1)^5$ [/mm] verwendet wurde ist die Anzahl der Fehlstände.
Ein Fehlstand hast du zum Beispiel bei dem Paar (2,3), denn es gilt:
2 < 3, aber T(2) = 5 > 3 = T(3)
Von diesen Fehlständen gibt es ins gesamt 5 Stück, daher kommt hier die 5.
Um zu beweisen, dass eine Transposition (also Vertauschung von 2 Elementen) immer Signum -1 hat gibt es verschiedene Wege, je nachdem was man voraussetzt und was man noch nicht benutzen darf.
Also poste einfach mal den Beweis den du nicht verstehst, am besten erzähl auch was daran du verstehst und was nicht und dann kann dir sicher geholfen werden.
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Lunai |
Ah ok, danke :). Hab meinen Fehler entdeckt ;).
Der Beweis sieht bei uns folgendermaßen aus:
sign(k [mm] k+1)=(-1)^1=-1 [/mm] jetzt folgt induktiv:
sign(k k+1+i) = sign(k k+1) sign(k+1 k+1+i) sign(k+1 k) = [mm] (-1)^1*(-1)*(-1)=(-1)^3=-1
[/mm]
Ich versteh nicht wieso aus dem sign(k k+1+i) die weiteren Schritte folgen?!
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> Der Beweis sieht bei uns folgendermaßen aus:
> sign(k [mm]k+1)=(-1)^1=-1[/mm]
Dies bedeutet: die Transposition zwei benachbarter Elemente
k und (k+1) hat das Signum -1
> jetzt folgt induktiv:
> sign(k k+1+i) = sign(k k+1) sign(k+1 k+1+i) sign(k+1 k) =
> [mm](-1)^1*(-1)*(-1)=(-1)^3=-1[/mm]
Nur mal der Kern der Idee:
Um jetzt die Transposition von k mit einem weiter hinten
liegenden Element (k+1+i) zu untersuchen, stellt man diese
Transposition als Produkt von drei Transpositionen dar.
Beispiel mit k=3 und i=5 :
[mm] $\pmat{3&3+1+5}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{3&9}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{3&4}\circ\pmat{4&9}\circ\pmat{4&3} [/mm] $
Im Rahmen eines Induktionsbeweises könnte man nun
die mittlere Transposition [mm] \pmat{4&9} [/mm] ebenso auf [mm] \pmat{5&9}
[/mm]
zurückführen, diese auf [mm] \pmat{6&9} [/mm] etc.
Was genau ihr beim Beweis benützen dürft, weiß ich nicht.
LG Al-Chw.
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