Probleme beim Integrieren < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Mo 11.03.2013 | | Autor: | Sunny89 |
| Aufgabe | 1) [mm] \integral{(x^{4}-1)/(x^{3}+x+2) dx}
[/mm]
[mm] 2)\integral_{-1}^{1}{(x-\wurzel{x+2}+1)/\wurzel{x+2} dx}
[/mm]
[mm] 3)\integral{\wurzel{1-x^{2}} dx} [/mm] |
zu 1) Zuerst mache ich eine PBZ und rechne dann alles aus, komme nachher auf [mm] 1/2*x^{2}-1/2*ln (lx^{2}-x-2l)+c, [/mm] allerdings ist die Lösung [mm] 1/2*x^{2}-1/2*ln (lx^{2}-x-2l)-3/\wurzel{7}*arctan(1/\wurzel{7}*(2x-1))+c
[/mm]
Ich weiß nicht wie der letzte Ausdruck zustande kommt.
zu 2) Ich würde [mm] \wurzel{x+2}=t [/mm] substituieren und das Integral auseinanderziehen in drei Integrale, die hinteren beiden würden kein Problem darstellen, aber das erste integral mit [mm] \integral{(x/\wurzel{x+2} dx} [/mm] schon, da ich nicht weiß, wie ich das x dort wegbekommen soll.
zu 3) würde x=sin(t) substituieren, nur bekomme ich am Ende 1/2*arcsin(x)+1/2*x*cos(arcsin(x))+c raus, [mm] 1/2*arcsin(x)+1/2*x*\wurzel{1-x^{2}}+c [/mm] , wo könnte der Fehler liegen
Kann mir jemand helfen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Mo 11.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> 1) [mm]\integral{(x^{4}-1)/(x^{3}+x+2) dx}[/mm]
>
> [mm]2)\integral_{-1}^{1}{(x-\wurzel{x+2}+1)/\wurzel{x+2} dx}[/mm]
>
> [mm]3)\integral{\wurzel{1-x^{2}} dx}[/mm]
> zu 1) Zuerst mache ich
> eine PBZ und rechne dann alles aus, komme nachher auf
> [mm]1/2*x^{2}-1/2*ln (lx^{2}-x-2l)+c,[/mm] allerdings ist die
> Lösung [mm]1/2*x^{2}-1/2*ln (lx^{2}-x-2l)-3/\wurzel{7}*arctan(1/\wurzel{7}*(2x-1))+c[/mm]
>
> Ich weiß nicht wie der letzte Ausdruck zustande kommt.
Zeig Deine komplette Rechnung. Dann können wir sehen, was Du falsch machst .
>
> zu 2) Ich würde [mm]\wurzel{x+2}=t[/mm] substituieren und das
> Integral auseinanderziehen in drei Integrale, die hinteren
> beiden würden kein Problem darstellen, aber das erste
> integral mit [mm]\integral{(x/\wurzel{x+2} dx}[/mm] schon, da ich
> nicht weiß, wie ich das x dort wegbekommen soll.
Mit der obigen Substitution wird die Aufgabe sehr einfach.
Auch hier: Zeig Deine komplette Rechnung. Dann können wir sehen, was Du falsch machst .
>
> zu 3) würde x=sin(t) substituieren, nur bekomme ich am
> Ende 1/2*arcsin(x)+1/2*x*cos(arcsin(x))+c raus,
> [mm]1/2*arcsin(x)+1/2*x*\wurzel{1-x^{2}}+c[/mm] , wo könnte der
> Fehler liegen
Tja, leider habem meine hellseherischen Fähigkeiten ihren Ruhe tag im am Montag.
Zeig Deine komplette Rechnung. Dann können wir sehen, was Du falsch machst .
FRED
>
> Kann mir jemand helfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mo 11.03.2013 | | Autor: | Sunny89 |
1) [mm] \integral{(x^{4}-1)/(x^{3}+x+2) dx}
[/mm]
PBZ: [mm] (x^{4}-1)/(x^{3}+x+2)=x+(-x^{2}-2x-1)/(x^{3}+x+2)
[/mm]
weiterrechnen mit dem Hinteren Teil:
PBZ-Ansatz: [mm] (-x^{2}-2x-1)/(x+1)*(x^{2}-x+2)=A/(x+1)+(Bx+C)/(x^{2}-x+2)
[/mm]
Damit komme ich auf A=0 und B=C=-1
=> [mm] (-x-1)/(x^{2}-x+2)
[/mm]
[mm] \integral{(x^{4}-1)/(x^{3}+x+2) dx}= \integral{x dx}+\integral{(-x-1)/(x^{2}-x+2) dx}=\integral{x dx}+\integral{-1/2*(-2x-1)/(x^{2}-x+2) dx}=1/2*x^{2}-1/2*ln (|x^{2}-x-2|)+c
[/mm]
zu 2)
[mm] \wurzel{x+2}=t [/mm] => [mm] 1/(2*\wurzel{x+2}) [/mm] dx=dt =>dx= [mm] 2*\wurzel{x+2} [/mm] dt = 2t dt
[mm] \integral{(x/\wurzel{x+2} dx}=\integral{(x/t)* 2t dt} [/mm] weiter komme ich nicht, da das x stehen bleibt, was es eigentlich nicht darf
3) x=sin(t) =>dx=cos(t)dt
[mm] \integral{\wurzel{1-x^{2}} dx}=\integral{\wurzel{1-sin^{2}(t)} cos(t) dt}=\integral{cos(t) cos(t) dt}=cos(t)*sin(t)-\integral{-sin(t)*sin(t) dt}=cos(t)*sin(t)+\integral{1-cos^{2}(t) dt}=cos(t)*sin(t)+\integral{1dt}-\integral{cos^{2}(t) dt}
[/mm]
=>
[mm] \integral{cos^{2}(t) dt}=1/2*(cos(t)*sin(t)+t)=1/2*(cos(arcsin(x)*x+arcsin(x))
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mo 11.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu1. warum kürzt du nicht erst durch (x+1)
zu 2. aus t=.. kannst du doch x ausrechnen [mm] x=t^2-2
[/mm]
zu 3 sieht kompliziert aus bei dir
verwende [mm] cos^2(x)=1/2*(cos(2x)-1)
[/mm]
oder sinx*cosx=1/2 sin(2x)
gruss leduart
|
|
|
| |
|
zu 2) noch einfacher [mm]u = x+2, dx = du, Integrand \wurzel{u} - \frac{2}{\wurzel{u}}[/mm]
|
|
|
|
