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Hallo!
Hatte gestern schon mal 'ne Frage gestellt, wobei mir jedoch keiner helfen konnte.
Nun sitze ich schon wieder an meinen Aufgaben und hänge schon wieder.
1.)
Cornflakespackungen enthalten jeweils 1 von 10 versch. Spielzeugfiguren.
Wie viele Pakete muss man im Schnitt kaufen, bis man einen kompletten Satz der Figuren hat?
(Die versch. Spielzeuge kommen mit gleicher Häufigkeit in den Paketen vor).
Meine bisherigen Überlegungen:
Die Figur in der 1. Packung ist ja egal (ich kaufe also die 1. Packung & habe eine Figur).
Kaufe ich nun eine 2. Packung, so ist die WSK, dass ich eine andere Figur drin habe
(von den restlichen 9, die ich noch nicht habe) [mm] \bruch{9}{10}, [/mm]
dass ich die gleiche drin habe [mm] \bruch{1}{10}.
[/mm]
Doch dieses Spiel kann ich dann mit der 3., 4., ... Packung bis ins unendliche weitertreiben.
Ich komme jedoch nicht weiter, da ich ja in jeder folg. wieder die gleiche Figur haben könnte.
Ich komme also keinen Schritt weiter!
2.)
Nun nochmal zu meiner gestrigen Aufgabe, an der ich auch noch hänge:
z.Z.: Für jede [mm] \IN_{0}-wertige [/mm] Zufallsvariable X auf einem WSK-Raum [mm] (\Omega,P) [/mm] gilt:
[mm] E(X)=\summe_{n=1}^{\infty}P(X\ge [/mm] n).
Hier habe ich noch nichtmals einen Ansatz.
Ich weiß überhaupt nicht, was ich einsetzen oder umformen soll/kann. (beantwortet (Marc))
Kann mir jemand bei den Aufgaben helfen?
Wäre Euch wirklich sehr dankbar!
VlG
Mario
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Do 02.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Mario!
Dieses Problem ist als sogenanntes Sammlerproblem (auch: Coupon Collector Problem) bekannt.
Für [mm] $i=1,2,\ldots,10$ [/mm] sei [mm] $T_i$ [/mm] die Anzahl der Tage, die man nach dem Finden der $(i-1)$-ten Spielzeugfigur benötigt, um die $i$-te Spielzeugfigur zu finden.
Offenbar ist [mm] $T_i$ [/mm] geometrisch-verteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit
[mm] $p_i [/mm] = [mm] \frac{10-i+1}{10}$
[/mm]
(denn wir haben $10$ Spielzeugfiguren, von denen $i-1$ schon gezogen wurden und ihr Ziehen somit keinen Erfolg bedeutet; daher verbleiben $10-(i-1) = 10-i+1$ "günstige" Figuren).
Für eine geometrisch-verteilte Zufallsvariable $X$ mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gilt allgemein:
$E[X] = [mm] \frac{1}{p}$.
[/mm]
Daher gilt hier speziell:
[mm] $E[T_i] [/mm] = [mm] \frac{1}{p_i} [/mm] = [mm] \frac{10}{10-i+1}$.
[/mm]
Es sei $T$ die Anzahl der Tage, die man benötigt im alle Spielzeugfiguren zusammen zu haben. Es gilt natürlich
[mm] $T=T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] T_{10}$.
[/mm]
Auf Grund der Linearität des Erwartungswertes erhalten wir:
$E[T] = [mm] E[T_1] [/mm] + [mm] E[T_2] [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] E[T_{10}]$,
[/mm]
also:
$E[T] = 10 [mm] \sum\limits_{i=1}^{10} \frac{1}{10-i+1} [/mm] = 10 [mm] \sum\limits_{i=1}^{10} \frac{1}{i}$.
[/mm]
Gib das man in den Taschenrechner ein, dazu bin ich jetzt zu faul. 
Viele Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Sa 04.12.2004 | | Autor: | adonis1981 |
Vielen lieben Dank für die nette Hilfe!
VlG
Mario
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