Problem beim Differenzieren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man verwende das Taylorpolynom [mm] P_4 (x) [/mm] (mit [mm] x_{0} = 0 [/mm]) des Integranden um folgendes Integral näherungsweise zu berechnen
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{\cos x}{1 + x}\,dx} [/mm]
und vergleiche den gewonnenen Wert mit dem Ergebnis [mm] I\approx 0.601044 [/mm] |
Also grundsätzlich ist mir klar wie man das Taylorpolynom entwickelt. Denn allgemein gilt ja:
[mm] P_n(x, x_0) = f(x_0)+ \bruch{f^'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \bruch{f^''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +.....+\bruch{f^(n)(x_0)}{n!}(x-x_0)^n [/mm]
Und damit ich diesen Ansatz verwenden kann, benötige ich also die 1. bis zur n'ten Ableitung meines integranden (in meinem Fall die 1. bis zur 4.). Und da liegt das Problem. Denn ich kann den Integranden zwar so umformen, dass ich mithilfe der Produktregel leicht [mm] f^'(x) [/mm] berechnen kann, und komme so auf:
[mm] f^'(x)= -\sin x (1+x)^-^1-cos x (1+x)^-^2[/mm]
Für die zweite Ableitung müsste ich nun also 2 mal die Produktregel anwenden und daraus ergibt sich dann ein Ausdruck aus 4 Produkten. Die dritte Ableitung bestünde dann aus 8 Produkten, die vierte aus 16!!! Produkten.
Und jetzt denke ich mir: Kann das sein? Denn dadurch wird ja allein das Differenzieren extrem aufwändig und lang (und fehleranfällig).
Oder gibt es eine einfachere Möglichkeit den Ausdruck [mm] \bruch{\cos x}{1 + x}\[/mm] vier mal zu differenzieren?
Schon mal danke im Voraus. 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Danke für die schnelle Antwort!
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