Problem bei Integralbestimmung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich sitze gerade vor einer Aufgabe, die wir in der Schule gemacht haben und hab ein mehr oder minder großes Problem.
Gegeben ist die Funktion:
f(x) = [mm] \bruch{2}{1+e^{1-x}}
[/mm]
Jetzt ist u.a. die Frage nach dem Integral. In der Schule haben wir es so gelöst, dass wir [mm] e^{1-x} [/mm] aufgelöst haben nach [mm] \bruch{e}{e^{x}}. [/mm] Dann ist das Integral im Prinzip problemlos und man bekommt als Stammfunktion:
F(X)= 2 [mm] ln(e^{x}+e)
[/mm]
Ich wollte jetzt aber mal nach einem anderen Weg schauen und hab dann mal fröhlich drauf los gerechnet:
[mm] 2\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+e^{1-x}} dx}
[/mm]
Dann substituiere ich:
z = [mm] 1+e^{1-x}
[/mm]
dx = [mm] \bruch{dz}{-e^{1-x}}
[/mm]
Damit habe ich dann:
[mm] 2\integral_{}^{}{\bruch{1}{z (1-z)} dz}
[/mm]
Ein Partialbruchzerlegung ergibt dann:
[mm] 2\integral_{}^{}{\bruch{1}{z}}+2\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-z}}
[/mm]
Daraus mache ich dann:
(substituiere:
d = 1-z ...)
2 ln z - 2 ln d
= 2(ln [mm] (1+e^{1-x}) [/mm] - ln [mm] (-e^{1-x})) [/mm] + c
Die abgeleitet ergibt dann auch wieder f(x).
Jetzt habe ich aber zwei Probleme:
a) Egal mit welchem c auch immer, ich kriege daraus nicht die Funktion, die wir in der Schule hatten; auch ein Zusammenziehen der beiden lns hilft nicht.
b) Dieses Problem ist im Prinzip noch etwas schlimmer: Meine Stammfunktion ist an keiner einzigen Stelle definiert...
Hat vielleicht irgendjemand eine Idee, wo mein Fehler ist?
Viel Dank =)
aeternitas
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Hallo aeternitas,
> Hi,
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> ich sitze gerade vor einer Aufgabe, die wir in der Schule
> gemacht haben und hab ein mehr oder minder großes Problem.
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> Gegeben ist die Funktion:
>
> f(x) = [mm]\bruch{2}{1+e^{1-x}}[/mm]
>
> Jetzt ist u.a. die Frage nach dem Integral. In der Schule
> haben wir es so gelöst, dass wir [mm]e^{1-x}[/mm] aufgelöst haben
> nach [mm]\bruch{e}{e^{x}}.[/mm] Dann ist das Integral im Prinzip
> problemlos und man bekommt als Stammfunktion:
>
> F(X)= 2 [mm]ln(e^{x}+e)[/mm]
>
> Ich wollte jetzt aber mal nach einem anderen Weg schauen
> und hab dann mal fröhlich drauf los gerechnet:
>
> [mm]2\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+e^{1-x}} dx}[/mm]
>
> Dann substituiere ich:
>
> z = [mm]1+e^{1-x}[/mm]
> dx = [mm]\bruch{dz}{-e^{1-x}}[/mm]
>
> Damit habe ich dann:
>
> [mm]2\integral_{}^{}{\bruch{1}{z (1-z)} dz}[/mm]
>
> Ein Partialbruchzerlegung ergibt dann:
>
> [mm]2\integral_{}^{}{\bruch{1}{z}}+2\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-z}}[/mm]
>
> Daraus mache ich dann:
>
> (substituiere:
> d = 1-z ...)
>
> 2 ln z - 2 ln d
>
> = 2(ln [mm](1+e^{1-x})[/mm] - ln [mm](-e^{1-x}))[/mm] + c
>
> Die abgeleitet ergibt dann auch wieder f(x).
>
> Jetzt habe ich aber zwei Probleme:
>
> a) Egal mit welchem c auch immer, ich kriege daraus nicht
> die Funktion, die wir in der Schule hatten; auch ein
> Zusammenziehen der beiden lns hilft nicht.
Multipliziere f(x) mir [mm]\bruch{e^{x}}{e^{x}}[/mm]
> b) Dieses Problem ist im Prinzip noch etwas schlimmer:
> Meine Stammfunktion ist an keiner einzigen Stelle
> definiert...
Schreibe die Stammfunkion mal so:
[mm]2\integral_{}^{}{\bruch{1}{z}}\green{-}2\integral_{}^{}{\bruch{1}{\green{z-1}}[/mm]
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>
> Hat vielleicht irgendjemand eine Idee, wo mein Fehler ist?
>
> Viel Dank =)
>
> aeternitas
Gruss
MathePower
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Faszinierend O.o
Aber die Stammfunktion, die ich erst ausgerechnet habe ist doch eigentlich auch richtig oder? Wie kann es sein, dass die nie definiert ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Sa 21.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Faszinierend O.o
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> Aber die Stammfunktion, die ich erst ausgerechnet habe ist
> doch eigentlich auch richtig oder? Wie kann es sein, dass
> die nie definiert ist?
Hallo,
ohne jetzt alles nachgerechnet zu haben:
Die Stammfunktion von [mm] y=\bruch{1}{x} [/mm] ist NICHT ln x , sondern ln |x|.
Schau mal nach, ob sich dein Problem dadurch behebt.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Sa 21.02.2009 | | Autor: | aeternitas |
Ja, das erhellt die ganze Sache wesentlich.
Vielen Dank =)
aeternitas
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