Problem bei Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Sa 18.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo, habe nochmal eine Frage.
zz. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Bew.
Sei [mm] a_{n} \to [/mm] a eine konvergente Folge.
Dann ist [mm] |a_{n}| [/mm] = [mm] |a_{n} [/mm] -a +a| [mm] \le |a_{n} [/mm] -a| + |a|
Der erste Summand ist beschränkt, da das eine Nullfolge ist und der zweite Summand ist sowieso beschränkt. Folglich ist jede konvergente Folge beschränkt.
Kann man den Beweis so machen? Oder ist das komplett daneben?
Wenn das jetzt gehen sollte, dann habe ich aber noch eine Frage dazu. Müsste man beweisen, dass jede Nullfolge beschränkt ist. Also nur, wenn man ganz genau sein möchte ;) Oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Sa 18.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, habe nochmal eine Frage.
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> zz. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
>
> Bew.
>
> Sei [mm]a_{n} \to[/mm] a eine konvergente Folge.
>
> Dann ist [mm]|a_{n}|[/mm] = [mm]|a_{n}[/mm] -a +a| [mm]\le |a_{n}[/mm] -a| + |a|
>
> Der erste Summand ist beschränkt, da das eine Nullfolge
> ist und der zweite Summand ist sowieso beschränkt.
> Folglich ist jede konvergente Folge beschränkt.
>
> Kann man den Beweis so machen?
Ja, wenn gezeigt ist, dass eine Nullfolge beschränkt ist.
> Oder ist das komplett
> daneben?
>
> Wenn das jetzt gehen sollte, dann habe ich aber noch eine
> Frage dazu. Müsste man beweisen, dass jede Nullfolge
> beschränkt ist. Also nur, wenn man ganz genau sein möchte
> ;) Oder?
Ja, das solltest Du tun.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Sa 18.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Danke ;)
Ich muss zugegeben, dass ich den Beweis für "Jede Nullfolge ist beschränkt" nicht mehr kenne. Hab jetzt mal nachgelesen, aber so ganz verstehe ich das leider nicht.
zu [mm] \varepsilon [/mm] = 1 ex. ein [mm] n_{0} [/mm] mit [mm] |x_{n}| [/mm] < 1 für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] Also gilt für alle n [mm] \in \IN, [/mm] dass
[mm] |x_{n}| \le [/mm] max{1, [mm] |x_{1}|, |x_{2}|, [/mm] ... , [mm] |x_{n_{0}-1}| [/mm] }
Hmm..verstehe diesen beweis irgendwie nicht. Also, dass mit dem Maximum verwirrt mich. Der erste Teil ist ja nur Definition von Konvergenz. Darf ich denn [mm] \varepsilon [/mm] einfach = 1 setzen? Und wenn ja, warum? Danke vielmals.
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Hallo,
das ist doch genau das, was abakus bereits geschrieben hatte.
Du weißt für jedes [mm] \varepsilon [/mm] gibt es ein [mm] $n_0$, [/mm] so dass alle kommenden Folgenglieder in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um Null liegen, insbesondere zu [mm] $\varepsilon [/mm] = 1$.
D.h. ab [mm] n_0 [/mm] sind alle kommenden Folgenglieder durch 1 beschränkt (weil sie in der 1-Umgebung um 0 liegen!).
Nun musst du nur noch gucken, welches von den vorherigen (endlichen!) Folgengliedern vor [mm] n_0 [/mm] das grösste war.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Sa 18.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry, aber das mit dem Maximum verstehe ich irgendwie immer noch nicht :( Aber das ich [mm] \varepsilon [/mm] mit 1 wählen kann, versteh ich wiederum. Danke schonmal dafür.
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Huhu
ok, wir setzen [mm] $\varepsilon [/mm] = 1$, dann weisst du, es gibt dieses [mm] n_0 [/mm] so dass für alle folgenden Folgenglieder gilt [mm] $|x_n| [/mm] < 1$
D.h. es gilt [mm] $x_{n_0} [/mm] < [mm] 1,\;x_{n_0+1} [/mm] < [mm] 1,\; x_{n_0+2} [/mm] < [mm] 1,\ldots$
[/mm]
Du willst nun aber zeigen, dass die gesamte Folge beschränkt ist.
Dafür musst du noch zeigen, dass auch die erste [mm] n_0 [/mm] Glieder beschränkt sind.
Offensichtlich sind sie beschränkt durch:
[mm] \max\{|x_0|,|x_1|,\ldots,|x_{n_0 -1}|\}
[/mm]
D.h. die GESAMTE Folge (weil die anderen ja durch 1 beschränkt sind) ist beschränkt durch
[mm] \max\{|x_0|,|x_1|,\ldots,|x_{n_0 -1}|,1\}
[/mm]
MFG,
Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Sa 18.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Sry, aber das mit dem Maximum verstehe ich irgendwie immer
Nimm mal an, eine Folge konvergiert gegen 1000 und fast alle Glieder liegen zwischen 999 und 1001. Außerhalb dieser Umgebung liegen endlich viele Glieder, z.B. zwischen 100 und 875.
Die Schranke für die Glieder in der [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] ist 1001, eine Schranke für die anderen ist 875.
Schranke für beide Teilmengen ist die größere von beiden, also 1001.
Wenn hingegen die Glieder außerhalb der [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] nicht zwischen 100 und 875, sondern zwischen 1022 und 1500 gelegen hätten, dann wäre nicht 1001, sondern die größere Zahl 1500 die gemeinsame Schranke gewesen.
Gruß Abakus
> noch nicht :( Aber das ich [mm]\varepsilon[/mm] mit 1 wählen kann,
> versteh ich wiederum. Danke schonmal dafür.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Sa 18.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo, habe nochmal eine Frage.
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> zz. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
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> Bew.
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> Sei [mm]a_{n} \to[/mm] a eine konvergente Folge.
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> Dann ist [mm]|a_{n}|[/mm] = [mm]|a_{n}[/mm] -a +a| [mm]\le |a_{n}[/mm] -a| + |a|
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> Der erste Summand ist beschränkt, da das eine Nullfolge
> ist und der zweite Summand ist sowieso beschränkt.
> Folglich ist jede konvergente Folge beschränkt.
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> Kann man den Beweis so machen? Oder ist das komplett
> daneben?
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> Wenn das jetzt gehen sollte, dann habe ich aber noch eine
> Frage dazu. Müsste man beweisen, dass jede Nullfolge
> beschränkt ist. Also nur, wenn man ganz genau sein möchte
> ;) Oder?
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Hallo,
was auch noch geht:
Konvergente Folge --> fast alle Glieder in einer [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von g
--> diese Teilfolge ist beschränkt.
Die Menge der endlich vielen Glieder, die nicht in der [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] sind, besitzt ein betragsmäßiges Maximum --> sie ist auch beschränkt.
Die größere der beiden Schranken der beiden Teilmengen ist dann Schranke für die Gesamtmenge.
Gruß Abakus
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