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Forum "Extremwertprobleme" - Problem: Extremwertaufgabe
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Problem: Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Mi 22.06.2005
Autor: Vannie

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!

Hallo an alle :),

Ich habe ein Problem bei einer Extremwertaufgabe und weiß einfach nicht weiter. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Gegeben ist [mm] f_t(x)=3x^2-12x+4t^2-6t[/mm] [mm]t \in \IR[/mm]
Für welchen t-Wert ist die y-Koordinate des Tiefpunktes am kleinsten?

Mein Ansatz lautet so:

[mm] f'_t(x)=6x-12[/mm]
[mm] f''_t(x)=6[/mm]

Für Tiefpunkt muss gelten:

[mm] f'_t(x)=0[/mm]
[mm] f''_t(x)>0[/mm]

Jetzt habe ich die Extremstelle ermittelt:

[mm] f'_t(x)=0 \gdw 6x-12 = 0 x_1=2[/mm]

Dann habe ich [mm]f_t(2)[/mm] ausgerechnet und kam auf folgendes:

[mm]f_t(2)=-12+4t^2-6t[/mm]

[mm] \Rightarrow T_t(6 | -12+4t^2-6t)[/mm]

Und jetzt muss ich ja noch t bestimmen, sodass die y-Koordinate des Tiefpunktes am kleinsten ist. Meine Idee wäre, dass

[mm]f(t)=-12+4t^2-6t[/mm]
sozusagen eine neue Funktion ist, von der ich dann das Minimum ausrechne...Also erst die Ableitungen bilden und dann die Stelle von t ausrechnen, an der ein Minimum vorliegt. Da bin ich dann auf [mm] \bruch{6}{8}[/mm] gekommen..Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass man so an den gesuchten t-Wert herankommt.
Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke im Voraus an alle, die sich die Mühe machen :). Schönen Abend noch...

        
Bezug
Problem: Extremwertaufgabe: Alles richtig gemacht!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:13 Mi 22.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Vannie!


[applaus] Prima! Alles richtig gemacht!


Mal davon abgesehen, daß man [mm] $t_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6}{8}$ [/mm] noch kürzen kann zu [mm] $t_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}$ [/mm] ... ;-)


Vielleicht jetzt noch den zugehörigen Funktionswert [mm] $y_{min} [/mm] \ = \ [mm] y\left(t_0\right) [/mm] \ = \ [mm] y\left(\bruch{3}{4}\right) [/mm] \ = \ ...$ ermitteln.


Zur Veranschaulichung (und Bestätigung) mal ein paar Kurven aus der Schar ...

Und Tatsache - Dein ermittelter Wert stimmt tatächlich [ok] !

[Dateianhang nicht öffentlich]



Gruß
Loddar


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Problem: Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Do 23.06.2005
Autor: Vannie

Hallo Loddar,

vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Stimmt..das Kürzen vergess ich zu oft ;).
Ist es für den Funktionswert rein formal gesehen besser, wenn ich es so: [mm] f( \bruch{3}{4})=-12+4(\bruch{3}{4})^2-6(\bruch{3}{4})=-14,25[/mm] aufschreibe, oder wenn ich es so aufschreibe:
[mm]f_\bruch{3}{4}(2)=3*2^2-12*2+4(\bruch{3}{4})^2-6(\bruch{3}{4})=-14,25[/mm]
Und der Tiefpunkt mit der kleinsten Y-Koordinate wäre dann dieser, oder?

[mm]T_ \bruch{3}{4}(2 | -14,25][/mm]
Ansonsten noch einmal Vielen Dank :).

Bezug
                        
Bezug
Problem: Extremwertaufgabe: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Do 23.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Vannie!


> Ist es für den Funktionswert rein formal gesehen besser,
> wenn ich es so: [mm]f( \bruch{3}{4})=-12+4(\bruch{3}{4})^2-6(\bruch{3}{4})=-14,25[/mm]
> aufschreibe, oder wenn ich es so aufschreibe:
>  
> [mm]f_\bruch{3}{4}(2)=3*2^2-12*2+4(\bruch{3}{4})^2-6(\bruch{3}{4})=-14,25[/mm]

Ich selber würde wohl die 2. Variante favorisieren!

Allerdings wäre es auf jeden Fall günstiger, die Funktion, mit der Du das t berechnet hast, nicht mit [mm] $\red{f}(x)$ [/mm] zu benennen, sondern vielleicht $g(x)$, um Verwechslungen mit der Ausgangsfunktion [mm] $f_t(x)$ [/mm] zu vermeiden!


> Und der Tiefpunkt mit der kleinsten Y-Koordinate wäre dann
> dieser, oder?
>  
> [mm]T_ \bruch{3}{4}(2 | -14,25)[/mm]

[daumenhoch]


Gruß
Loddar


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