Primzahlen und echte Teiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Di 03.11.2009 | | Autor: | da_kiwi |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n, die sowohl das Produkt zweier Primzahlen sind als auch die Summe ihrer echten Teiler. Beweisen Sie Ihre Antwort! |
Hallo,
bin durch einen Freund auf dieses Forum gestoßen und hoffe das Ihr mir ein bisschen weiterhelfen könnt. ;)
Primzahl1 = p
Primzahl2 = q
Ich glaube herausgefunden zu haben, dass es nur eine Lösung gibt:
2* 3= 6 , 1+ 2+ 3= 6
Ein Produkt aus zwei Primzahlen scheint immer aus drei echten Teilern zu bestehen: 1, p und q.
Wenn das stimmt gilt:
p* q [mm] \not= [/mm] 1+ p+ q für p,q [mm] \ge [/mm] 3
Jetzt hab ich mir überlegt eine Fallunterscheidung zu machen.
Fall1:
p [mm] \vee [/mm] q = 2
Fall2:
p,q [mm] \ge [/mm] 3
Bin ich auf den richtigen weg? Wenn ja, wie gehts weiter?
Danke schonmal im vorraus.
Grüße, da_kiwi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo da_kiwi,
> Primzahl1 = p
> Primzahl2 = q
>
> Ich glaube herausgefunden zu haben, dass es nur eine
> Lösung gibt:
> 2* 3= 6 , 1+ 2+ 3= 6
Jedenfalls gibt es diese Lösung schon mal. Fragt sich jetzt noch, wie das zu zeigen ist.
> Ein Produkt aus zwei Primzahlen scheint immer aus drei
> echten Teilern zu bestehen: 1, p und q.
Das ist doch leicht zu zeigen. Ja, so ist es.
> Wenn das stimmt gilt:
> p* q [mm]\not=[/mm] 1+ p+ q für p,q [mm]\ge[/mm] 3
Woher weißt Du das? Das wäre doch gerade zu zeigen!
Nimm an, p=2m+1 und q=2n+1, dann ist es nicht mühsam.
> Jetzt hab ich mir überlegt eine Fallunterscheidung zu
> machen.
Ja, gut.
> Fall1:
> p [mm]\vee[/mm] q = 2
Es genügt anzunehmen p=2, q=2k+1. Rechne mal damit weiter, dann kannst Du Bedingungen für k ermitteln.
> Fall2:
> p,q [mm]\ge[/mm] 3
Hierzu siehe mein Vorschlag oben.
> Bin ich auf den richtigen weg? Wenn ja, wie gehts weiter?
> Danke schonmal im vorraus.
> Grüße, da_kiwi
Ja, der Weg ist gut. Aber gehen musst Du ihn selbst. 
lg
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mi 04.11.2009 | | Autor: | da_kiwi |
Hey,
deine Tipps haben mir sehr geholfen, danke. 
Ich hab nun eine Fallunterscheidung gemacht:
Fall1:
p = 2
q = 2k+1
p*q = 1 +p +q
2(2k+1) = 1 +2 +2k+1
4k +2 = 2k+4
k = 1 -> q = 3
Fall 2:
p,q [mm] \ge [/mm] 3
m,n [mm] \in \IN
[/mm]
(2m+1) *(2n+1) = 1 +(2m+1 ) +(2n+1)
4mn +2m +2n +1 = 3 +2m +2n
2mn = 1 ---> falsch
Jetzt fehlt noch der fall p,q = 2.
Soll ich den auch aufschreiben oder ist das trivial?
> > Ein Produkt aus zwei Primzahlen scheint immer aus drei
> > echten Teilern zu bestehen: 1, p und q.
>
> Das ist doch leicht zu zeigen. Ja, so ist es.
Ich find das nicht so leicht zu zeigen. ^^
Hat das was mit Primfaktorzerlegung zu tun?
Beispiel:
42 = 6 *7 = 2 *3 *7
d = a *b *c
Alle Teiler von d können mit a, b und c dargestellt werden (abgehen von 1).
Teiler von d: 1, a, b, c, a*b, a*c, b*c
Da eine Primzahl nicht weiter zerlegt werden kann, gibt es in unserem Beispiel nur 3 Teiler.
Aber wie kann ich das allgemein beweisen?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mi 04.11.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
du suchst Primzahlen p und q, für die gilt
pq=p+q+1
Sei q die kleinere der beiden Primzahlen.
dann gilt mindestens
Fall 1: p=q+1,
meist aber
Fall 2: p>q+1
Da mit Ausnahme von 2 alle Primzahlen ungerade sind und dann mindestens den Abstand 2 haben, gilt Fall 1 nur für q=2, p=3 (das war deine Lösung)
zu Fall 2: aus p>q+1 folgt durch Addition von p
2p>p+q+1
Wegen pq=p+q+1 wird daraus
2p>pq
2>q.
Kennst du eine Primzahl q, die das erfüllt?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Do 05.11.2009 | | Autor: | reverend |
Der hübschen Antwort von abakus ist eigentlich nichts mehr hinzuzufügen.
Dass beide Primzahlen =2 sein könnten, gibt aber die Aufgabe eher nicht her. In der ursprünglichen Formulierung würde ich immer von zwei verschiedenen Primzahlen ausgehen.
Grüße
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Do 05.11.2009 | | Autor: | da_kiwi |
Hey,
> du suchst Primzahlen p und q, für die gilt
> pq=p+q+1
Kann ich davon ausgehen oder muss ich das noch Beweisen?
> Fall 2: p>q+1
> aus p>q+1 folgt durch Addition von p
> 2p>p+q+1
> Wegen pq=p+q+1 wird daraus
> 2p>pq
> 2>q.
> Kennst du eine Primzahl q, die das erfüllt?
Nein die gibt es nicht.
War mein Fall zwei denn nicht auch in Ordnung?
p,q $ [mm] \ge [/mm] $ 3
m,n $ [mm] \in \IN [/mm] $
(2m+1) *(2n+1) = 1 +(2m+1 ) +(2n+1)
4mn +2m +2n +1 = 3 +2m +2n
2mn = 1 ---> falsch
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > du suchst Primzahlen p und q, für die gilt
> > pq=p+q+1
>
> Kann ich davon ausgehen oder muss ich das noch Beweisen?
Da ist ja nicht viel zu beweisen. n hat nur zwei Primfaktoren, nämlich p und q, und daher die echten Teiler 1,p,q. Und damit hast Du ja schon die Gleichung von abakus.
> > Fall 2: p>q+1
> > aus p>q+1 folgt durch Addition von p
> > 2p>p+q+1
> > Wegen pq=p+q+1 wird daraus
> > 2p>pq
> > 2>q.
> > Kennst du eine Primzahl q, die das erfüllt?
> Nein die gibt es nicht.
>
> War mein Fall zwei denn nicht auch in Ordnung?
>
> p,q [mm]\ge[/mm] 3
> m,n [mm]\in \IN[/mm]
> (2m+1) *(2n+1) = 1 +(2m+1 ) +(2n+1)
> 4mn +2m +2n +1 = 3 +2m +2n
> 2mn = 1 ---> falsch
Doch, der war auch in Ordnung.
> Liebe Grüße
dito
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Do 05.11.2009 | | Autor: | da_kiwi |
Hatte schon angst das mein Fall nicht richtig ist.
Danke für eure Hilfe.
Liebe Grüße
|
|
|
|
