Primzahlen der Form... < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | | Beweise: Es gibt unendlich viele PZ der Form 6m + 5! |
Hallo an alle!
Habe leider keine wirkliche Idee, wie ich das lösen könnte.
ang. a:= { [mm] p_{1},p_{2},p_{3}....p_{n} [/mm] } wären alle Primzahlen der Form 6m+5. (n [mm] \in \IN).
[/mm]
vielleicht wäre eine Möglichkeit, ein N zu bilden mit
N = [mm] 6*p_{1}*p_{2}*p_{3}*...*p_{n} [/mm] + 5
und mit dieser weiter zu arbeiten. Aber da fehlt mir irgendwie der Weitblick.
Würde mich daher über eure Ideen und Vorschläge sehr freuen!
Danke für eure Zeit!
Mfg Sr
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Hallo Roli,
Deine Idee ist doch gut!
Außer den Primzahlen 2 und 3 haben ja alle Primzahlen die Form 6k+1 oder 6k-1, letzteres geschickter als 6k+5 - wegen der 5 selbst. Für die Aufgabe ist das nicht wesentlich, weil man ja einfach [mm] k\in\IN_0 [/mm] annehmen darf, aber im allgemeinen ist es geschickter, um nicht verschiedene Definitionsmengen für [mm] \a{}6k+1, k\in\IN [/mm] und [mm] 6\hat{k}, \hat{k}\in\IN_{\red{0}} [/mm] zu haben.
Zurück zur Aufgabe.
Wenn Du nun annimmst, dass es eine größte Primzahl der Form 6m+5, [mm] m\in\red{\IN} [/mm] gebe, dann ist es (zumindest theoretisch) möglich, alle Primzahlen dieser Form zu bestimmen. Du betrachtest nun die Zahl
[mm] N=6\cdot{}p_{1}\cdot{}p_{2}\cdot{}p_{3}\cdot{}...\cdot{}p_{n}+5
[/mm]
N ist nun nicht durch 2,3 oder 5 teilbar (durch die Wahl von m ist die 5 jetzt ausgeschlossen), aber auch durch kein [mm] p_i.
[/mm]
Also ist entweder die Liste der [mm] p_i [/mm] nicht vollständig - dann müssten wir nacharbeiten und die Betrachtung wiederholen  - oder N ist selbst prim (und [mm] >p_n [/mm] ) oder aber durch ein [mm] p_j=6s+5>p_n [/mm] teilbar. In jedem Fall: ein Widerspruch.
Dies wird aus einer Restklassenbetrachtung deutlich. N kann zwar beliebig viele Teiler der Form 6k+1 haben, muss aber mindestens einen Teiler der Form 6m+5 haben um [mm] \mod{6} [/mm] den Rest 5 zu haben. Dass eine beliebige ungerade Anzahl von Teilern die Form 6m+5 haben können, tut dabei nichts zur Sache: für die Argumentation genügt ja die Existenz eines solchen Teilers.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Roli772 |
hey super!
Das hilft mir gut weiter. Danke!!
Mfg
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