Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ist p>2 eine Primzahl, dann gilt 24|(p³-p). Zeigen sie, dass p³-p durch 8 und durch 3 teilbar ist!
|
Wer kennt die Lösung ?
Ich weiß leider nicht, wie ich diese Aufgabe beweisen soll!!!
Danke für eure Hilfe!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Di 17.11.2009 | | Autor: | Harris |
Hi!
Tipp:
Mittels Faktorisierung des Ausdrucks kommst du auf
(p-1)*p*(p+1)
Da p ungerade ist, ist p-1 und p+1 gerade und daraus folgt auch schon fast die Teilbarkeit durch 8 (nur noch ein kleiner Schritt  )
Und Teilbarkeit durch 3 ist irgendwie auch offensichtlich...
Gruß
Harris
|
|
|
| |
|
danke:)
dann hab ich immer einen teiler von 2 oder 4 auf der einen oder anderen seite! aber mir ist noch nicht klar wie ich zur 3 komme...
|
|
|
| |
|
Hallo Mathestudent35,
> danke:)
> dann hab ich immer einen teiler von 2 oder 4 auf der einen
> oder anderen seite! aber mir ist noch nicht klar wie ich
> zur 3 komme...
Na, mit [mm] $(p-1)\cdot{}p\cdot{}(p+1)$ [/mm] hast du ein Produkt dreier aufeinanderfolgender nat. Zahlen.
Davon ist eine doch sicher durch 3 teilbar.
Das ist offensichtlich, du kannst es dir schnell mit Kongruenzrechnung bzw. Restbetrachtung bei Division durch 3 beweisen.
Eine nat. Zahl $n$ lässt bei Division durch 3 ja entweder Rest 0,1,2.
Also erwischt du bei drei aufeinanderfolgenden auf jeden Fall eine, die Rest 0 lässt, also durch 3 teilbar ist.
(wenn du's ganz detailliert willst, mache eine Fallunterscheidung bzgl. Rest, den $p$ lässt ...)
Damit dann auch das Produkt ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
joh, jetzt hats klick gemacht:)))
supi
|
|
|
|
