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| Aufgabe | | Es gibt für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ein k [mm] \in \IN [/mm] so, dass [mm] \left\{ k,.....,k+n \right\} [/mm] keine Primzahl enthält |
Ich schaue mir hier doch sozusagen die Primzahllücken an. Die kleinste ist 1. Kann es sein, dass n nicht so groß sein darf wie k? Wegen folgendem Wikipedia Eintrag:
Joseph Bertrand zeigte folgende natürliche Begrenzung einer Primzahllücke: Für jedes n > 1 gilt: zwischen n und 2n liegt wenigstens eine Primzahl. Daraus folgt, dass eine Primzahllücke, begonnen bei n , nicht größer sein kann als n selbst.
aber dort steht auch, dass es scheinbar ausser der abc-Vermutung noch keine Formel dafür gibt, dass es für ein n [mm] \in \IN [/mm] eine Lücke der Länge n gibt. Was mache ich nun?? Vorschläge?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mi 27.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
kann es sein, dass da steht (k,k+2,k+3,....k+n) dann versuchs mit k=n!
sonst mit k=n!+2
Gruss leduart
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> Hallo
> kann es sein, dass da steht (k,k+2,k+3,....k+n)
wie kommst du auf (k,k+2, k+3...), wieso fehlt k+1?
Nee in der Aufgabenstellung steht wirklich nur [mm] \left\{ k,...,k+n \right\}
[/mm]
> versuchs mit k=n!
Das würde ja heissen, das ich z.B. für n=2 n!=2 hätte und somit auch k=2
dann würde ja [mm] \left\{2,3,4 \right\} [/mm] die Primzahlen 2 und 3 enthalten nach deiner Methode!
> sonst mit k=n!+2
Dann müsste ja für n=1 k=3 sein, und [mm] \left\{ 3,4 \right\} [/mm] enthält auch eine Primzahl.
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Do 28.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte gesagt, k=n!+2
n! ist durch alle Zahlen bis n teilbar, deshalb auch n!+2, n!+3 n!+n
siehe https://matheraum.de/forum/Beliebig_grosse_Primzahlluecken/t721283
ich seh wohl du mußt wphl (n+1)!+2 w#hlen
siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahllücke
Gruss leduart
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> Hallo
> ich hatte gesagt, k=n!+2
> n! ist durch alle Zahlen bis n teilbar, deshalb auch n!+2,
> n!+3 n!+n
> siehe
> https://matheraum.de/forum/Beliebig_grosse_Primzahlluecken/t721283
> ich seh wohl du mußt wphl (n+1)!+2 w#hlen
> siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahllücke
> Gruss leduart
>
Es tut mir leid, aber das musst du noch mal genauer erklären, so verstehe ich es nicht. Die Behauptung ist ja, dass es für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ein k [mm] \in \IN [/mm] gibt, so das [mm] \left\{ k,...k+n \right\} [/mm] keine Primzahl erhält. WEnn ich aber jetzt deine Formel nehme für n=1 erhalte ich für k=3 bzw für (n+1)!+2 ist k=4, also [mm] \left\{ 3,4 \right\} [/mm] bzw [mm] \left\{ 4,5 \right\} [/mm] erhalten aber beide Primzahlen!
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Hallo ElizabethBalotelli,
das Prinzip sollte doch klar sein. Selbst denken macht schlau...
Gehen wir es mal umgekehrt an.
Von den Zahlen [mm] $m!+2,\;m!+3,\;\cdots,\;m!+m-1,\;m!+m$ [/mm] kann keine prim sein.
Das sind $m-1$ aufeinanderfolgende Zahlen.
Mach Dir erstmal klar, warum das für jedes natürliche $m$ mit [mm] m\ge{2} [/mm] so ist.
Nun sollst Du zu einem gegebenen $n$ ein $k$ finden, so dass ab $k$ (und $k$ inklusive) bis $k+n$ keine Primzahl existiert. Das sind also $n+1$ aufeinanderfolgende Zahlen.
Mit diesen Informationen kannst Du die nötige Berechnung von $k$ doch leicht selbst erstellen, statt hier nur Formeln zu prüfen, die eben vielleicht noch einen kleinen Fehler enthalten - oder die Du falsch anwendest, weil Du das Prinzip nicht verstanden hast.
Viel Erfolg dabei!
reverend
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Ah vielen Dank für die Erklärung!!
Lieg ich dann mit: Wähle k=(n+1)!+2 richtig? Beim Ausprobieren klappts, aber so 100 prozentig sicher, wie man drauf kommt, bin ich mir nicht. Wie du schon geschrieben hast, aber wir für den ersten Fall, den du nennst (m-1) Elemente die keine Primzahl sind, wir wollen aber (n+1) Elemente zum Schluss haben. Das ist eine Differenz von 2 Elementen! Gleichen wir die mit Hilfe der Gleichung k=(n+1)!+2 aus? SCheinbar ja, aber wie geht das?
Danke schonmal im Voraus
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Hallo nochmal,
> Ah vielen Dank für die Erklärung!!
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> Lieg ich dann mit: Wähle k=(n+1)!+2 richtig?
Ja, das ist vollkommen korrekt.
> Beim
> Ausprobieren klappts, aber so 100 prozentig sicher, wie man
> drauf kommt, bin ich mir nicht. Wie du schon geschrieben
> hast, aber wir für den ersten Fall, den du nennst (m-1)
> Elemente die keine Primzahl sind, wir wollen aber (n+1)
> Elemente zum Schluss haben. Das ist eine Differenz von 2
> Elementen! Gleichen wir die mit Hilfe der Gleichung
> k=(n+1)!+2 aus?
Na, das ist doch die Erklärung. Man muss sich halt nur überlegen, dass $(n+1)!+a$ durch $a$ teilbar (und somit nicht prim) ist, wenn [mm] 2\le a\le{n+1} [/mm] ist.
> SCheinbar ja, aber wie geht das?
Genauso, wie Dus oben gemacht hast.
> Danke schonmal im Voraus
lg
rev
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