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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Di 13.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo liebe Forumuser, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 [mm] \not= [/mm] 0. Zeigen Sie:
a) R ist ein Integritätsbereich genau dann, wenn (0) ein Primideal ist.
b) ist jedes von R verschiedene Ideal in R ein Primideal, so ist R ein Körper.
Also die a) denk ich hab ich richtig und zwar hab ich da folgendes:
R Integritätsb. <=> R nullteilerfrei <=> für a [mm] \in [/mm] R gibt es kein b [mm] \in [/mm] R [mm] \backslash [/mm] {0} : ab=0 <=> [ ab=0 => a=0 oder b=0 für alle a,b [mm] \in [/mm] R ] <=> (0) Primideal
So ich denke, das müsste stimmen!
Bei der b) hab ich allerdings meine Probleme...
Ich habe, dass alle Ideale Primideale sind, also für alle a [mm] \in [/mm] R : (a) Primideal => Falls bc [mm] \in [/mm] (a) dann b [mm] \in [/mm] (a) oder c [mm] \in [/mm] (a) nun komme ich aber leider nicht weiter, ich muss jetzt irgendwie die Einheiten reinbasteln, also das es für alle a ein d gibt mit ad=1 oder so, nur hab ich keinen Schimmer wie ich aus dieser Vorgabe auf die Einheiten komme...
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
Viele liebe Grüße
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Di 13.11.2007 | | Autor: | SEcki |
> So ich denke, das müsste stimmen!
Jup.
> Bei der b) hab ich allerdings meine Probleme...
Die sieht leichter aus, als sie für mich ist. Beherztes googlen hat mir aber die Lösung verraten - gut, ich schäme mich ein bisschen 
> Ich habe, dass alle Ideale Primideale sind, also für alle a
> [mm]\in[/mm] R : (a) Primideal => Falls bc [mm]\in[/mm] (a) dann b [mm]\in[/mm] (a)
> oder c [mm]\in[/mm] (a) nun komme ich aber leider nicht weiter, ich
> muss jetzt irgendwie die Einheiten reinbasteln, also das es
> für alle a ein d gibt mit ad=1 oder so, nur hab ich keinen
> Schimmer wie ich aus dieser Vorgabe auf die Einheiten
> komme...
Erstmal: jedes Element ist prim, das heisst [m]a^2|a*a\Rightarrow a^2|a[/m]. Jetzt Fallunterschiedung nehmen, wenn a gleich 0 oder ungleich 0 ist.
SEcki
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