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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mi 03.06.2015 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen :),
in einem Zahlentheorie-Buch steht:
$p$ sei ein Primideal [mm] ($\not=(0)$) [/mm] im Ring der ganzalgebraischen Zahlen aus [mm] $\mathbb Q(\sqrt{d})$.
[/mm]
Dann ist auch [mm] $p\cap\mathbb [/mm] Z$ ein Primideal.
Dort steht, dass sich dies sofort aus den entsprechenden Definitionen ergibt.
Aber mir ist überhaupt nicht klar warum. Zwar ist der Schnitt stets ein Ideal, aber der Rest erschließt sich mir nicht.
Könnt ihr mir da helfen?
VG
Fry
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Allgemein gilt: Ist [mm] $f:A\to [/mm] B$ ein Homomorphismus, $p$ ein Primideal in $B$, so ist [mm] $f^{-1}p$ [/mm] ein Primideal in $A$. Tatsächlich, betrachten wir die Komposition [mm] $A\to B\to [/mm] B/p$, so ist der Kern genau das Urbild von $p$. Der Homomorphiesatz liefert somit eine Einbettung [mm] $A/f^{-1}p\hookrightarrow [/mm] B/p$ und Unterringe von Integritätsbereichen sind Integritätsbereiche.
In diesem Fall ist [mm] $A=\IZ$ [/mm] und $B$ der betrachtete Ring und $f$ die offensichtliche Einbettung. Übrigens schreibt man häufig [mm] $A\cap [/mm] p$ für [mm] $f^{-1}p$, [/mm] selbst wenn $f$ nicht injektiv ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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