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| Aufgabe | Bestimmen Sie die eindeutige Primfaktorzerlegung von
[mm] a(x)=x^{5}+x^{4}+1 [/mm]
in dem Polynomring [mm] \IZ_{2}. [/mm] |
Hallo.
Kann mir jemand sagen, wie ich da am besten vorgehe? Ich habe vieles ausprobiert (z.B. Polynomdivisionen durch einige Polynome), aber nix hat geklappt. Auch als ich rückwärts versucht habe durch Primfaktoren a(x) zu erstellen, hat es nicht recht geklappt, z.B. durch mehreres Anwenden von [mm] (x+1)(x+1)=x^{2}+1. [/mm]
Bitte um Ratschlag!
Lg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
https://matheraum.de/read?i=462475
(aus Versehen in Oberstufen-Bereich, obwohl es zur Hochschule gehört.)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 So 02.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Bestimmen Sie die eindeutige Primfaktorzerlegung von
> [mm]a(x)=x^{5}+x^{4}+1[/mm]
> in dem Polynomring [mm]\IZ_{2}.[/mm]
> Hallo.
> Kann mir jemand sagen, wie ich da am besten vorgehe? Ich
> habe vieles ausprobiert (z.B. Polynomdivisionen durch
> einige Polynome), aber nix hat geklappt. Auch als ich
> rückwärts versucht habe durch Primfaktoren a(x) zu
> erstellen, hat es nicht recht geklappt, z.B. durch mehreres
> Anwenden von [mm](x+1)(x+1)=x^{2}+1.[/mm]
offenbar hat $a$ ja keine nullstelle in [mm] $\mathbb{Z}_2$. [/mm] wenn es also zerfallen soll, so in ein produkt aus einem polynom zweiten und einem polynom dritten grades (gradformel). nun musst du einfach probieren, ob $a$ durch ein polynom zweiten grades teilbar ist, wenn dem so ist, so erhälst du so eine zerlegung, wenn dem nicht so ist, so lässt sich $a$ nicht mehr weiter zerlegen.
im zweifel probiere einfach alle $4$ polynome zweiten grades aus (natürlich reicht es das eine irreduzible zu testen, denn bei den drei anderen reduziblen polynomen hätte $a$ ja eine nullstelle und die hättest du schon gefunden).
probiere das mal aus.
grüße
andreas
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danke!
ich habe was gefunden:
[mm] a(x)=(x^{2} [/mm] + x + [mm] 1)(x^{3}+x+1).
[/mm]
Aber lassen sich die beiden faktoren nicht noch weiter zerlegen? kann man das außer durch ausprobieren an etwas erkennen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 So 02.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> ich habe was gefunden:
> [mm]a(x)=(x^{2}[/mm] + x + [mm]1)(x^{3}+x+1).[/mm]
ja, genau das ist die zerlegung in irreduzible.
> Aber lassen sich die beiden faktoren nicht noch weiter
> zerlegen? kann man das außer durch ausprobieren an etwas
> erkennen?
hier ist ja gerade die "schöne" situation, dass man mit wenig ausprobieren sehr weit kommt. mach dir klar, dass für einen körper $K$ und ein polynom $a [mm] \in [/mm] K[X]$ mit [mm] $\textrm{grad} \, [/mm] a [mm] \in \{2, 3\}$ [/mm] gilt:
$a$ irreduzibel (unzerlegbar) [mm] $\Longleftrightarrow$ [/mm] $a$ hat keine nullstelle in $K$
und da $K$ hier sehr klein ist, kann man die rechte bedingung ja sehr leicht nachprüfen.
grüße
andreas
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