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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Di 30.05.2006 | | Autor: | Bebe |
| Aufgabe | | Eine natürliche Zahl [mm] n\ge1 [/mm] habe die Primfaktordarstellung [mm] n=p_{1}^{e_{1}}*p_{2}^{e_{2}}...*p_{k}^{e_{k}} [/mm] mit Primzahlen [mm] p_{1} |
Hallo, habe gerade diese Aufgabe entdeckt, aber wüsste nicht wie ich so eine beweisen sollte. Wäre nett, wenn ihr mir einen Ansatz geben könntet. Vielen Dank
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Ich würde so ansetzen:
[mm] $r=\wurzel{n}$
[/mm]
und [mm] \wurzel{n}=\wurzel{ \produkt p_i^{e_i}}=\produkt \wurzel{ p_i^{e_i}}
[/mm]
Jetzt kann man beweisen, daß z.B. [mm] $\wurzel[n]{2} \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ$ [/mm] gilt, und dieser Beweis ist eigentlich sofort auf alle Primzahlen übertragbar.
Sprich, [mm] \wurzel{ p_i^{e_i}} [/mm] darf keine Wurzeln enthalten, und somit müssen die [mm] $e_i$ [/mm] grade sein. Daß r dann ganzzahlig ist, ist dann klar.
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