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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:21 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Betonkopf |
Hallo zusammen!
Ich brauche mal Hilfe bei folgender Aufgabe:
Unternehmen XY steht folgender Preis-Absatz- und Kostenfunktion gegenüber:
p= [mm] \bruch{800}{x+5} [/mm] -10
K=10x-120
Aufgabenstellung:
1. Ausbringungsmenge bestimmen, die zu einem maximalen Erlös führt
und [mm] E_{max} [/mm] bestimmen
2. Gewinnmaximale Ausbringungsmenge bestimmen
und [mm] G_{max} [/mm] bestimmen
Wäre super, wenn mir beim Lösen dieser Aufgabe jemand behilflich sein könnte
Gruß
Betonkopf
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Betonkopf,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wäre super, wenn mir beim Lösen dieser Aufgabe jemand
> behilflich sein könnte
Wäre super, wenn du auch ein paar eigene Überlegungen oder Ansätze oder Ideen oder konkrete Verständnisprobleme erkennen lassen könntest.
Bis gleich,
Marc
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Ja, das wär mal 'ne Maßnahme =)
OK, allllllso
ich bin jetzt soweit, dass ich Punkt 1 gelöst habe.
Und zwar habe ich folgendes gemacht:
E(x)=p(x)*x ergibt bei mir folgende Funktion: [mm] \bruch{800x}{x+5}-10x
[/mm]
Die erste Ableitung davon muss ich null setzen, weil es ja die Steigung der Stammfunktion ist und wenn die Steigung 0 ist, ist ein Extrempunkt erreicht und der zeigt mir dann die erlösmaximale Menge - richtig?
Als erste Ableitung habe ich also mit Hilfe der Produktregel folgendes:
[mm] \bruch{800}{x+5}-10- \bruch{800x}{(x+5)^2}
[/mm]
Das ganze "aufgelöst" und mit der pq-Formel bekomme ich x1=15 und x2=-25 Ein negativer Wert wäre sinnlos, also ist x1=15 die erlösmaximale Menge.
Ich hoffe, ich liege bis hierhin richtig, aber jetzt weiß ich überhaupt nicht mehr weiter...
Achso - noch was vergessen: Jetzt muss ich noch die 15 Stück in die Kostenfunktion einsetzen und erhalte als max. Erlös: 450
So, jetzt ist aber wirklich Bahnhof ;)
MfG
Betonkopf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Betonkopf,
> Ja, das wär mal 'ne Maßnahme =)
Hey, dann bist du ja gar kein echter Betonkopf 
> OK, allllllso
> ich bin jetzt soweit, dass ich Punkt 1 gelöst habe.
> Und zwar habe ich folgendes gemacht:
>
> E(x)=p(x)*x ergibt bei mir folgende Funktion:
> [mm]\bruch{800x}{x+5}-10x
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die erste Ableitung davon muss ich null setzen, weil es ja
> die Steigung der Stammfunktion ist und wenn die Steigung 0
> ist, ist ein Extrempunkt erreicht und der zeigt mir dann
> die erlösmaximale Menge - richtig?
Ja, bis auf die Begriffe stimmt das in etwa.
Eine Stammfunktion wird eigentlich nur im Zusammenhang mit Integration benutzt, ich hätte hier Ausgangsfunktion oder eben Erlösfunktion benutzt.
(Aber strenggenommen ist natürlich die Erlösfunktion eine Stammfunktion der Ableitung, da hast du Recht).
Dann noch ein Hinweis auf eine Ungenauigkeit: Aus einer Steigung mit dem Wert 0 kann man nicht schließen, dass die Funktion eine Extremum besitzt, wie das Gegenbeispiel [mm] f(x)=x^3 [/mm] zeigt.
Aber solche Stellen sind Kandidaten für Extrema, ob es sich um ein Extremum handelt, muß noch mit einer hinreichenden Bedingung festgestellt werden (Vorzeichenwechsel der Ableitung oder zweite Ableitung ungleich 0).
> Als erste Ableitung habe ich also mit Hilfe der
> Produktregel folgendes:
> [mm]\bruch{800}{x+5}-10- \bruch{800x}{(x+5)^2}
[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist überraschenderweise richtig, denn ich sehe nicht, mit welcher Rechnung der Term entstanden sein könnte.
Statt mit der Produktregel zu arbeiten, würde ich hier die Quotientenregel (oder alternativ Produkt+Kettenregel) anwenden:
$E(x)=\bruch{800x}{x+5}-10x$
$E'(x)=\bruch{800*(x+5)-800x*1}{(x+5)^2}-10$ = $\bruch{800x+4000-800x}{(x+5)^2}-10$ = $}\bruch{4000}{(x+5)^2}-10$
> Das ganze "aufgelöst" und mit der pq-Formel bekomme ich
> x1=15 und x2=-25 Ein negativer Wert wäre sinnlos, also
> ist x1=15 die erlösmaximale Menge.
Es ist aber nocht der Vorzeichenwechsel von $E'(x)$ an der Stelle $x_1$ oder alternativ $E''(x_1)\not=0$ zu zeigen, damit wir sicher sein können, dass es sich
a) um ein Extremum handelt und
b) dieses Extremum ein Maximum ist.
> Ich hoffe, ich liege bis hierhin richtig, aber jetzt weiß
> ich überhaupt nicht mehr weiter...
> Achso - noch was vergessen: Jetzt muss ich noch die 15
> Stück in die Kostenfunktion einsetzen und erhalte als max.
> Erlös: 450
> So, jetzt ist aber wirklich Bahnhof ;)
Du meinst bei Teil 2.
Aber wie kann man denn die Gewinnfunktion aufstellen?
Es gilt: "Gewinn = Erlös minus Kosten", also hier $G(x)=E(x)-K(x)$.
Der Rest dürfte dann kein Problem mehr sein, da er vollkommen analog zu 1. berechnet werden muß und du da ja auch keine Probleme hattest.
Viel Erfolg ,
Marc
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Also - ich habs mal versucht, aber irgendwie hänge ich jetzt.
Ich weiß, dass das Ergebnis der gmax. Menge = 9,14 ist und Gmax bei 214,31 liegt. Aber ich komme irgendwie nicht drauf
Ich habe also zuerst die Gewinnfunktion aufgestellt
G = E - K
Die habe ich dann abgeleitet und bekomme:
[mm] \bruch{800}{x+5}-10- \bruch{800x}{(x+5)^2}-10
[/mm]
so, wenn ich das jetzt mal [mm] (x+5)^{2} [/mm] rechne, erhalte ich:
[mm] 800*(x+5)-10*(x+5)^2-800x-10*(x+5)^2
[/mm]
Das ganze jetzt ausgeschrieben und ab in die pq-Formel und ich bekomme für x1=6,583
Wo ist mein Fehler? Habe ich beim Ableiten schon was falsch gemacht? Oder erst danach? Oder habe ich irgendwas anderes übersehen?
Vielen Dank schonmal
Betonkopf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Betonkopf,
> Ich weiß, dass das Ergebnis der gmax. Menge = 9,14 ist und
> Gmax bei 214,31 liegt. Aber ich komme irgendwie nicht
> drauf
>
> Ich habe also zuerst die Gewinnfunktion aufgestellt
>
> G = E - K
Schreib' die doch auch mal auf, ich vermute da den Fehler.
Bis gleich,
Marc
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G = [mm] \bruch{800x}{x+5}-10x-(10x+120)
[/mm]
....ich habe die beiden separat abgeleitet - vielleicht liegt da der Fehler
also ich habe an die abgeleitete Erlösfunktion die abgeleitete Kostefunktion (-10) "hintendrangehängt"
ob das der Fehler war?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Betonkopf,
> G = [mm]\bruch{800x}{x+5}-10x-(10x+120)[/mm]
lautet die Kostenfunktion nun 10x+120 oder 10x-120?
Ist aber nicht wichtig für die Bestimmung des Extremums.
> ....ich habe die beiden separat abgeleitet - vielleicht
> liegt da der Fehler
Nein, das ist in Ordnung.
> also ich habe an die abgeleitete Erlösfunktion die
> abgeleitete Kostefunktion (-10) "hintendrangehängt"
> ob das der Fehler war?
Nein, ich hätte schon früher sehen sollen, dass deine Ableitung richtig ist, eben weil du ja E'(x)-10 geschrieben hast.
Deine Ableitung war also richtig.
[mm] $G'(x)=\bruch{800}{x+5}-\bruch{800x}{(x+5)^2}-20$
[/mm]
[mm] $G'(x)\stackrel{!}{=}0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\bruch{800}{x+5}-\bruch{800x}{(x+5)^2}-20=0$ [/mm] | $* [mm] (x+5)^2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $800*(x+5)-800x-20*(x+5)^2=0$
[/mm]
> so, wenn ich das jetzt mal [mm] (x+5)^{2} [/mm] rechne, erhalte ich:
> [mm] 800*(x+5)-10*(x+5)^2-800x-10*(x+5)^2 [/mm]
[mm] $\gdw$ $800*x+4000-800x-20*(x^2+10x+25)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $4000-20*x^2-200x-500=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $-20*x^2-200x+3500=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x^2+10x-175=0$
[/mm]
PQ-Formel:
[mm] $\gdw$ $x_{1,2}=-5\pm\wurzel{25+175}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x_{1,2}=-5\pm10*\wurzel{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x_1\approx [/mm] 9.1$ und [mm] $x_2<0$
[/mm]
Mit dieser Rechnung müßtest du jetzt eigentlich deinen Fehler finden können, falls nicht, poste deine gesamte Rechnung
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Betonkopf |
aaaaaaaaaahhhhhhhhhhhhh - ich hab's.....
ich habe einen winzigen Fehler gemacht, bei
$ [mm] -20\cdot{}x^2-200x+3500=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] $ $ [mm] x^2+10x-175=0 [/mm] $
als ich /(-20) gerechnet habe, habe ich einen Flüchtigkeitsfehler gemacht
und habe statt 10x, 20x bekommen.....
na, dann ist das Problem ja gelöst.
Also, ich weiß nicht, ob ich meine Dankbarkeit hier auch nur annähernd zum Ausdruck bringen kann - Du hast mir echt perfekt geholfen, ich hätte mir keine bessere Hilfe vorstellen können!
Vielen vielen Dank!!!
Ich werde hier im Matheraum jetzt mal öfter vorbeischauen und vielleicht kann ich mit meinem bescheidenen Wissen ja auch mal jemandem helfen =)
Schöne Grüße
Betonkopf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Betonkopf,
> aaaaaaaaaahhhhhhhhhhhhh - ich hab's.....
>
> ich habe einen winzigen Fehler gemacht, bei
> [mm]-20\cdot{}x^2-200x+3500=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]x^2+10x-175=0[/mm]
>
> als ich /(-20) gerechnet habe, habe ich einen
> Flüchtigkeitsfehler gemacht
> und habe statt 10x, 20x bekommen.....
>
> na, dann ist das Problem ja gelöst.
Sehr schön
> Also, ich weiß nicht, ob ich meine Dankbarkeit hier auch
> nur annähernd zum Ausdruck bringen kann - Du hast mir echt
> perfekt geholfen, ich hätte mir keine bessere Hilfe
> vorstellen können!
Das freut mich!
Viele Grüße,
Marc
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