Präsentation Diedergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:25 Do 11.06.2009 | | Autor: | BieneJulia |
| Aufgabe | Zeige, dass die unendliche Diedergruppe [mm] D_{\infty} [/mm] folgende Präsentation hat: < a, b | [mm] a^{2} [/mm] = 1, [mm] a^{-1}ba [/mm] = [mm] b^{-1}.
[/mm]
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Hallo Leute!
Ich habe irgendwie gerade keine Ahnung, wie ich das anfange.
Kann mir da jemand helfen? Wäre super!
Danke !
Lg, BieneJulia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Do 11.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
wie ist denn bei euch die unendliche diedergruppe definiert?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Do 11.06.2009 | | Autor: | BieneJulia |
Das ist genau das Problem! Wir haben überhaupt keine Definition von der unendlichen Diedergruppe gemacht. Also das ist eine Aufgabe aus einem Buch, das Buch ist an vielen Stellen recht knapp und ich habe keine Definition einer unendlichen Diedergruppe gefunden.
Vermutlich kann ich irgendeine nehmen, außer die,die schon voraussetzen, dass wir genau die Präsentation haben
Lg, Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Do 11.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
irgendeine definition brauchst du schon, sonst ist die aufgabe relativ sinnlos. was steht denn da zu diedergruppen? etwa, dass sie stets durch zwei involutionen erzeugt werden? durch eine drehung und eine spiegelung?
ansonsten, wenn du die aufgabe nur zu deiner übung machen willst und wirklich keine definition findest, suche etwa im internet nach einer definition (davon gibt es einige), dann können wir ja weitersehen, wie man zeigen kann, dass die gruppe diese präsentation hat.
grüße
andreas
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Ich habe wirklich keine Definition der Diedergruppe gefunden, also nehmen wir an, dass sie durch zwei Involutionen erzeugt wird. Wir wissen dann schonmal, dass [mm] a^{2} [/mm] und [mm] b^{2} [/mm] =1.
Hmm... und weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 So 14.06.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Julia!
> Ich habe wirklich keine Definition der Diedergruppe
> gefunden, also nehmen wir an, dass sie durch zwei
> Involutionen erzeugt wird. Wir wissen dann schonmal, dass
> [mm]a^{2}[/mm] und [mm]b^{2}[/mm] =1.
Nee, das natürlich nicht. Diese Präsentation führt direkt zur Kleinschen Vierergruppe, also zu [mm] D_2.
[/mm]
> Hmm... und weiter?
Wenn du keine Definition hast, kannst du auch nix zeigen oder beweisen. Das kann kein Mathematiker der Welt.
Oder was hältst du von der Aussage 'Das Glumpf ist hüxel'?
Gruß und schönen Sonntag
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 So 14.06.2009 | | Autor: | BieneJulia |
Okay - aber welche definition könnte man nehmen, um es zu zeigen? Wie gesagt, in dem Buch steht die Aufgabe so drin und weit und breit keine Definition der Diedergruppe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 So 14.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> > Ich habe wirklich keine Definition der Diedergruppe
> > gefunden, also nehmen wir an, dass sie durch zwei
> > Involutionen erzeugt wird. Wir wissen dann schonmal, dass
> > $ [mm] a^{2} [/mm] $ und $ [mm] b^{2} [/mm] $ =1.
> Nee, das natürlich nicht. Diese Präsentation führt direkt zur Kleinschen Vierergruppe, > also zu $ [mm] D_2. [/mm] $
das führt nur dann zur kleinschen vierergruppe, wenn man annimmt, dass $a$ und $b$ kommutieren, sonst ist es natürlich eine unendliche gruppe, da die elemente [mm] $(ab)^n$ [/mm] alle verschieden sind.
der ansatz von julia ist aber genau richtig. man kann etwa eine beliebige diedergruppe definieren als
[mm] $D_{2n} [/mm] = [mm] \left< a, b | a^2 = b^2 = (ab)^n = 1 \right>$ [/mm]
lässt man nun "formal" auch $n = [mm] \infty$ [/mm] zu, so verschwindet die letzte relation und man erhält genau die von julia angegebene präsentation [mm] $D_\infty [/mm] = [mm] \left< a, b | a^2 = b^2 = 1 \right>$, [/mm] vergleiche auch den ![[]](/images/popup.gif) englischen wikipedia-artikel (dort steht auch, dass die "gruppentheoretiker-definition" der diedergruppe, nämlich dass dies genau die gruppen, die durch zwei involutionen erzeugt werden sind, charakteristisch für die diedergruppen - auch nach ihrer geometrischen definition - sind).
um zu zeigen, dass die beiden präsentationen die gleiche gruppe beschreiben sollte man sich zunächst ein element unendlicher ordnung in [mm] $D_\infty$ [/mm] beschaffen und dann nachrechnen, dass damit auch die andere präsentation erfüllt ist und vice versa.
grüße
andreas
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Hallo!
Danke erstmal! Wenn ich nur zeigen will, dass die Präsentationen die gleiche Gruppe beschreiben, kann ich das dann nicht mit Tietze-Transformationen machen? Also zeigen, dass ich mithilfe von endlich vielen Tietze-Transformationen von der einen Präsentation zu anderen komme?
Lg,
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 19.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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