Potzenzen in Klammern < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Di 13.09.2005 | | Autor: | elko |
Hi 2 all habe ne kleine Frage und zwar kann ich mir nicht erklären warum
(-ab)³ + (-ab)² - (-2ab)³ = -a³b³ + a²b² -8a³b³ = -9a³b³ + a² b²
sein sollte!!
Das Teilergebeniss + a² b² ist mir ja klar, aber das stück -9a³b³ bzw die - 8a³b³ die aus der -(-2ab)³ herauskommen soll ist mir nicht klar!!
Da für mich das Minus vor der Klammer ja die vorzeichen umdreht wäre das doch dann 8a³b³ positiv oder??
denke mal da ist ein Druck Fehler im Lösungsteil des Buches oder könnt ihr mir das vieleicht erklären??
Danke im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Di 13.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo elko!
Du hast vollkommen Recht, das ist ein Druckfehler!
Richtig muss es heißen:
[mm] $-(-2ab)^3 [/mm] = [mm] -[(-2)^3 \cdot a^3 \cdot b^3] [/mm] = [mm] -[-8a^3b^3] [/mm] = [mm] 8a^3b^3$,
[/mm]
und das Endergebnis ist somit
[mm] $7a^3b^3 +a^2b^2$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Di 13.09.2005 | | Autor: | elko |
Hatt mich auch irgendwie total verwirrt die Lösung im Mathebuch!!
Ich wieder hole gerade den ganzen Stoff von Klasse 9 bis 13 deshalb!!
Da ich jetzt nen Studium angefangen habe und nach meiner drei Jährigen Lehre eigendlich so viel vergessen habe!!
Werde wohl noch desöfteren mit Fragen zu einigen Themen kommen, fals das nicht nervt!!??
selbst wenn mann davon ausgeht das durch das erste Minuszeichen alle Vorzeichen der Multiplikatoren umgedreht werden kommt das ergebnis ja so raus!!
- ( - 2ab)³ = - [ (-2) * (+a) * (+b) ]³ | Minuszeichen weg
= [ (2) * (-a) * (-b)]³ | 2 * - a =- 2a
= [ ( -2a) * (-b)]³ |-2a * -b = 2ab
= [ 2ab]³
= 8a³b³
Gesamtergebnis = 7 a³b³ + a²b²
Danke schonmal für das bestätigen eben!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Di 13.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
dein Vorgehen das Minuszeichen einfach in die Potenz rein zu holen ist nur in diesem Fall richtig !
angenommen du hättest so was : $- [mm] (-a)^2$
[/mm]
dann darfst du das Minuszeichen nicht einfach in die Klammer rein bringen !
(außer dir sagen imaginäre Zahlen etwas..)
allgemein gilt die Umkehrung zum Ausklammern: [mm] $a*(b)^n=(\wurzel[n]{a}*b)^n$
[/mm]
du hattest also doppelt Glück : das Minuszeichen ist ja eine (-1)*
wäre der Exponent gerade gewesen, wäre es schief gegangen.
und wenn da keine 1 sondern eine andere Zahl steht, muss man sowieso höchstens die Wurzel dieser Zahl rein ziehen.
also zusammenfassend : hier zufällig richtig, aber im allgemeinen nicht !!
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 13.09.2005 | | Autor: | elko |
ja wegen den imaginären zahlen habe ich mir dieses Beispiel also dies Komplette Aufageb aus dem MAthe Buch im Kapitel Potenzen rausgesucht!!
Weil ich da nicht so genau verstehe wo der Unterschied liegt zwischen der Potenzregel:
(-a)² negative Basis und gerader Exponent --> Potenzwert positiv
(-a)³ negative basis und ungerader Exponent --> Potenzwert negativ
plus
- (-a)² negative Basis und gerader Exponent -->Potenzwert ??
-(-a)³ negative basis und ungerader Exponent -->Potenzwert ??
darf mann dann durch die Vorzeichenregel alle vorezeichen in der Klammer umkehren oder wieder nicht??
Weil das problem ist ja :
(-a)² klar minus mal minus = plus
(-a)³ minus mal minus mal minus gleich minus ist ja ungerade!!
aber -(-a)² da wäre es dann entweder -(-a*-a) = -(a²) = -a²
oder
-(-a)² = (a)² =a² wegen dem Minus vor der Klammer!!
das selbe ist ja das Problem bei
-(-a)³ da Fall eins -(-a*-a*-a) = -(-a³) = a³
oder
-(-a)³ Fall zwei vorzeichen vor der Klammer dreht alle Basis vorzeichen in der Klammer um!! und es kommt auch a³ raus !
Gut bei ungeraden Potenzen klappt die regel aber geraden Potenzen nicht so richtig!!
Oder ist das dann der Punkt an dem die Komplexen zahlen mit dem Imaginärenteil und dem rellen Teil anfangen??
Generrel bestätigst du aber auch das Gesamt ergebnis der Aufgabe oder?
7a³b³+a²b²
Danke im vooraus
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[...]
>
> - (-a)² negative Basis und gerader Exponent -->Potenzwert
> ??
> -(-a)³ negative basis und ungerader Exponent
> -->Potenzwert ??
[...]
- [mm] (-a)^{2} [/mm] bedeutet -1 * [mm] (-a)^{2} [/mm] = -1 * [mm] a^{2} [/mm] = [mm] -a^{2} [/mm] also ist der Potenzwert negativ.
- [mm] (-a)^{3} [/mm] bedeutet -1 * [mm] (-a)^{3} [/mm] = -1 * [mm] -a^{3} [/mm] = [mm] a^{3} [/mm] also ist der Potenzwert positiv.
Ich hoffe man kann diesen Ansatz verstehen. Gruß Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Di 13.09.2005 | | Autor: | Lokus |
Ja das Ergebnis:
7a³b³ + a²b² ist richtig...
beim Rechnen mit Exponenten gilt folgende Grundregel:
Wie etwa Klammer vor alles, Punkt vor Strich... gilt bei Exponenten dass sie bindend sind.
D.h. bei zb. ... - (-2)² : Errechne zu erst die Potenz: => - (+4) = -4
genauso wie bei .... - (-2)³ gilt: Zuerst die Potenz errechnen: - (-8) = + 8
Merke dir: Die Potenz ist bindend und kommt vor klammer, punkt und Strichrechnung. Also zu immer zu erst die Potenzen lösen!!!
Nehme dir auch die Ausführungen von XPatrickX zu Herzen, da sie dieses Phänomen nochmal verständlich erläutern!!
Beste Grüße
Lokus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Di 13.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo an alle,
so eine Grundregel, die besagt, dass man immer zuerst die Potenz ausrechnen muss, gibt es nicht - es gilt vielmehr, wie ich bereits erwähnt habe, dass man alles rein ziehen darf aber dann die Wurzel beachten muss:
Beispiel: [mm] $-27*(-2)^3=(\wurzel[3]{-27}*(-2))^3=((-3)*(-2))^3=6^3$
[/mm]
natürlich hätte man das auch ausrechnen können, indem man erst die gesamte Potenz berechnet, aber man MUSS es nicht.
Insbesondere wenn hier schon das Stichwort der imaginären Zahlen gefallen ist, sollte man nochmal besonders darauf eingehen:
warum klappt das hier wieder so reibungslos und manchmal eben nicht?
der Punkt ist wieder die ungerade Zahl im Exponenten !
für positive Zahlen a ist es völlig egal, dann gilt immer [mm] $a*(b)^n=(\wurzel[n]{a}*b)^n$ [/mm] .
Dies gilt auch für negative Zahlen a - dies sagen die Potenzgesetze !!
Aber was passiert denn bei geradem n ?
Beispiel : a=-1 und n=2 , dann muss man [mm] $\wurzel[2]{-1}=i$ [/mm] (imaginäre Einheit) in die Klammer ziehen, also [mm] $-(b)^2=(b*i)^2$
[/mm]
(oder natürlich -i rein ziehen)
Aber nun ist Vorsicht angeraten , es gilt NICHT : [mm] $-(b)^4=(b*i)^4$, [/mm] denn [mm] $i^4=i^2*i^2=(-1)(-1)=1$ [/mm] und nicht etwa (-1).
Wenn die Potenz also durch vier teilbar ist, wird es richtig kompliziert - bzw. richtig komplex (denn dann müsste man zum Beispiel [mm] $\bruch{1}{2}(\wurzel{2}+\wurzel{2}*i)$ [/mm] in die Klammer ziehen [es gibt 4 Lösungen..])
Man muss bei den geraden Potenzen also auch noch darauf aufpassen, ob der Exponent durch 4 teilbar ist oder nicht.
Sollte die Potenz hingegen ungerade sein, aber der Vorfaktor negativ, dann muss man zwar die Wurzel des Vorfaktors reinziehen, kann aber das Minus ebenfalls einfach mit reinziehen, also :
sei n ungerade , dann gilt: [mm] $(-a)*(b)^n=(-\wurzel[n]{a}*b)^n$
[/mm]
(a natürlich positiv...)
Also, Zusammenfassung:
angenommen es steht nur ein Minuszeichen vor der Klammer : [mm] $-(b+c-d)^n$
[/mm]
dann gilt:
wenn n ungerade ist, kann man das Vorzeichen wie auch ohne Potenz einfach in die Klammer ziehen und dort alle Vorzeichen umändern.
wenn n gerade ist aber nicht durch 4 teilbar, muss man den gesamten Inhalt (bzw. jeden Summanden) mit i multiplizieren.
sollte hingegen noch ein positiver Vorfaktor (zusätzlich zum Minuszeichen) bestehen, dann muss die n-te Wurzel dessen mit in die Klammer gezogen werden und das Minuszeichen wie eben gehandhabt werden.
Aber man sieht glaube ich ganz gut, warum man sich gerne auf "Grundregeln" beruft, die einem verbieten wollen etwas in Potenzen rein zu ziehen - es ist eben eine sehr haarige Angelegenheit und man sollte dies auch nur machen, wenn man i mindestens mal bis zur zehnten Potenz berechnet hat und auch sonst komplexe Zahlen mag...
nächtliche Grüße
DaMenge
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