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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 So 29.04.2007 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Gegen sind die beiden Funktionen
[tex] f(z) = e^{3iz} [/tex] sowie [tex] g(z) = sin(4iz) [/tex]. Bestimmen sie die Potenzreihenentwicklung von f +i*g. |
Aloha hé zusammen,
Irgendwie bereitet mir diese Aufgabe Kopfschmerzen. Mag vielleicht auch daran liegen, dass die Analysis I bei mir etwas zurückliegt, und wir den Teil über Taylor/Potenzreihen damals nicht mehr geschafft haben. So einfach geht Analysis II dann nicht von der Hand.
Zu der Aufgabe habe ich mir schon einige Gedanken gemacht, die ich gleich mal hier runter poste. Evtl. bin ich ja sogar schon fertig.
Also nach Vorlesung - ich meine diesen Satz andernorts als "Satz von Euler" gesehen zu haben - gilt wohl:
[tex]h(z)=e^{iz}=cos(z) + i*sin(z)[/tex].
Hier setzt meine erste Frage an. Wenn ich mir die Formel so anschaue, kommt sie dem, was da oben in der Aufgabe schon steht, schon sehr nah. Ich habe mir dann überlegt, dass ich einfach etwas trickse und definiere: [tex] 3z =: a \in \IC [/tex], so dass ich dann die Formel von h auf f anwenden kann... dann würde ich erhalten:
[tex]f(z)=e^{3iz}=e^{ai}==cos(a) + i*sin(a)[/tex].
Auf Grund dieser Erkenntnis kann ich die Potenzreihenentwicklung für e in [tex] \IC [/tex] anwenden und umsortieren:
[tex] a \mapsto 1 + i*a + \bruch{(ia)^{2}}{2!} + \bruch{(ia)^{3}}{3!} + ... [/tex]
Dies lässt sich ja "umsortieren", so dass man erhält:
[tex] a \mapsto (1 - \bruch{(a)^{2}}{2!} + \bruch{(a)^{4}}{4!} - ...) + i*(a - \bruch{(a)^{3}}{3!} + \bruch{(a)^{5}}{5!} - ...) [/tex]
Soweit so gut.
Auch bei der Funktion [tex] g(z) [/tex] habe ich versucht ein wenig zu tricksen. Ich habe mir gedacht: Wenn die Potenzreihenentwicklung des Sinus in [tex] \IC [/tex] für beliebiges z funktioniert, definier ich mir einfach [tex] 4iz =: b \in \IC [/tex].
Dann ergibt sich als Potenzreihenentwicklung:
[tex] b \mapsto b - \bruch{(b)^{3}}{3!} + \bruch{(b)^{5}}{5!} - ... [/tex].
Nun soll ich aber die Potenzreihenenticklung von "f + ig" angeben. Also ziehe ich beide Reihen gliedweise zusammen und klammer das (i) gleich aus.
Somit erhielte ich:
f + ig:
[tex] f + ig \mapsto (1 - \bruch{(a)^{2}}{2!} + \bruch{(a)^{4}}{4!} - ...) + i*(a + b - \bruch{a^{3} + b^{3}}{3!} + \bruch{a^{5} + b^{5}}{5!} - ...) [/tex]
Soweit meine Überlegungen durch stumpfes Ausführen und etwas getrickse. Aber ob das nun richtig ist... bezweifel ich aktuell stark. Vielleicht kann ja jemand mal drüberlesen und mir ggf. einen netten Hinweis geben, wo mein Fehler liegt.
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiterlesen geht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 So 29.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ich würde sagen, dass das richtig ist. Dur musst nur wieder das z in die Entwicklung reintuen und dann beide Reihen addieren und so zusammenfassen, dass du eine Potenzreihe erhälst.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 29.04.2007 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé,
Der untere Ausruck war ja schon eine Zusammenfassung. Wenn ich nun a und b einsetze erhalte ich:
[tex] f + ig \mapsto (1 - \bruch{(3z)^{2}}{2!} + \bruch{(3z)^{4}}{4!} - ...) + i*(3z + 4iz - \bruch{(3z)^{3} + (4iz)^{3}}{3!} + \bruch{(3z)^{5} + (4iz)^{5}}{5!} - ...) [/tex]
Die Frage ist dabei eben, ob diese "Substitution" mit a und b überhaupt mit den üblichen Regeln verträglich ist. Dessen bin ich mir im Augenblick etwas unsicher.
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiter lesen geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 29.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ja, dass darfst du machen, weil du im Prinzip keine echte Substitution gemacht hast, du hättest auch einfach in die Potenzreihenentwicklungen von sin und e deine Werte einsetzten können. Die Konvergenzradien sind ja unendlich.
Du musst dasdoch noch bloß auf die Form einer echten Potenzreihe bringen, also auf:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}(z-a)^{k}
[/mm]
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Di 01.05.2007 | | Autor: | laryllan |
Erstmal herzlichen Dank,
die letzte Zusammenfassung hab ich nicht mehr so ganz geschnallt, aber der prüfende Blick war mehr als hilfreich.
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich herzlich bedanken tut.
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