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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Potenzreihenentwicklung
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Potenzreihenentwicklung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mi 18.05.2005
Autor: Melli9181

Hallo!
Die andere Frage wegen den Potenzreihen hat mir ja schon sehr geholfen, aber geht das bei einer Entwicklung nicht um Null genauso?
Meine Aufgaben wäre: [mm] \bruch{1}{z ^{2}-5z+6} [/mm] um [mm] z_{0}=0 [/mm]
und [mm] \bruch{1}{(z-i) ^{3}} [/mm] um  [mm] z_{0}=-i [/mm] zu entwickeln.

Meine bisherige Lösung:
[mm] \bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=\bruch{1}{z-3}-\bruch{1}{z -2}. [/mm] Mit der geometrischen Reihe komme ich auf:
[mm] \bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=- \bruch{1}{3} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{3})^{n}z^{n} [/mm] +  [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{2})^{n}z^{n} [/mm]
Aber wie fasse ich das jetzt zu einer Reihe zusammen? Und der Konvergenzradius ist 2, oder? Weil die nächste Polstelle bei 2 ist.

Aber jetzt die zweite Aufgabe???
Das kann  man doch gar nicht als Partialbruchzerlegung schreiben, oder?
Wenn ich versuche als geo Reihe zu schreiben, komme ich auf:
[mm] \bruch{1}{(z-i) ^{3}}=(\bruch{1}{(z-i) })^{3}=(\bruch{-1}{i}\summe_{n=o}^{ \infty}\bruch{1}{i})^{n}z^{n})^ [/mm] {3}.
Aber jetzt??
Der Konvergenzradius ist auch wieder 2, oder?
Ich hoffe mir kann jemand helfen?
Grüßle und danke, Melli
        
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Mi 18.05.2005
Autor: Julius

Hallo melli!

>  Die andere Frage wegen den Potenzreihen hat mir ja schon
> sehr geholfen, aber geht das bei einer Entwicklung nicht um
> Null genauso?
>  Meine Aufgaben wäre: [mm]\bruch{1}{z ^{2}-5z+6}[/mm] um [mm]z_{0}=0[/mm]
> und [mm]\bruch{1}{(z-i) ^{3}}[/mm] um  [mm]z_{0}=-i[/mm] zu entwickeln.
>  
> Meine bisherige Lösung:
>  [mm]\bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=\bruch{1}{z-3}-\bruch{1}{z -2}.[/mm] Mit
> der geometrischen Reihe komme ich auf:
> [mm]\bruch{1}{z ^{2}-5z+6}=- \bruch{1}{3} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{3})^{n}z^{n}[/mm]
> +  [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=o}^{ \infty}( \bruch{1}{2})^{n}z^{n}[/mm]

[ok]

> Aber wie fasse ich das jetzt zu einer Reihe zusammen?

Ganz einfach:

[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \left[ \left( \bruch{1}{2} \right)^{n+1} - \left( \bruch{1}{3} \right)^{n+1} \right] z^n$ [/mm]

> Und
> der Konvergenzradius ist 2, oder? Weil die nächste
> Polstelle bei 2 ist.

[daumenhoch]
  
> Aber jetzt die zweite Aufgabe???
>  Das kann  man doch gar nicht als Partialbruchzerlegung
> schreiben, oder?
>  Wenn ich versuche als geo Reihe zu schreiben, komme ich
> auf:
>  [mm]\bruch{1}{(z-i) ^{3}}=(\bruch{1}{(z-i) })^{3}=(\bruch{-1}{i}\summe_{n=o}^{ \infty}\bruch{1}{i})^{n}z^{n})^[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> {3}.
>  Aber jetzt??
>  Der Konvergenzradius ist auch wieder 2, oder?
>  Ich hoffe mir kann jemand helfen?

Die Aufgabe ist mal wieder nicht so einfach oder ich bin zu blöd eine einfache Lösung zu sehen. ;-)

Zunächst einmal muss man ja um $z=-i$ herum entwickeln, das scheinst du überlesen zu haben.

Es gilt ja:

$\frac{1}{1-\frac{z+1}{2i}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2i} \right)^n \cdot (z+i)^n$.

Ableiten liefert:

$\frac{1}{2i} \cdot \frac{1}{\left( 1 - \frac{z+1}{2i} \right)^2} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{1}{2i} \right)^n (z+i)^{n-1}$.

Erneutes Ableiten führt zu

(*) $-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left( 1 - \frac{z+1}{2i} \right)^3} = \sum\limits_{n=2}^{\infty} n (n-1) \left( \frac{1}{2i} \right)^n (z+i)^{n-2} =  \sum\limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) \left( \frac{1}{2i} \right)^{n+2} (z+i)^n$.

Andererseits ist:

(**) $\frac{1}{(z-i)^3} = \frac{1}{(z+i-2i)^3} = \frac{1}{\left(\frac{z+i}{2i} -1 \right)^3} = - \frac{1}{\left( 1 - \frac{z+i}{2i} \right)^3$.


(*) und (**) zusammen liefern die Lösung.

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Potenzreihenentwicklung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:45 Do 19.05.2005
Autor: Melli9181

Hallo Julius!
Vielen Dank!
Die Aufgabe war wohl wirklich nicht so einfach, aber jetzt ist es mir klar!
Grüßle, Melli
Bezug
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