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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 So 16.01.2005 | | Autor: | Arisin |
Hallo!
Meine erste Frage hier, bin übrigens begeistert von diesem Forum!
Ich sollte
[mm] \overline{FM}=\bruch{R}{2\wurzel{1-sin^2\alpha}} [/mm] mit [mm] 0<\alpha<\bruch{\pi}{2}
[/mm]
in eine "Reihe nach Potenz von sin [mm] \alpha [/mm] bis einschließlich zu Gliedern 4. Ordnung" entwickeln.
Angenommen ich ersetze nun [mm] \wurzel{1-sin^2\alpha} [/mm] durch cos [mm] \alpha, [/mm] so erhalte ich [mm] \overline{FM}=\bruch{R}{2*cos \alpha}. [/mm] Sieht doch viel besser aus, 1. Frage, stimmt das soweit?
Nun lautet die Potenzreihe von cos [mm] \alpha:
[/mm]
1 - [mm] \bruch{\alpha^2}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{\alpha^4}{4!} [/mm] - [mm] \bruch{\alpha^6}{6!} [/mm] + ...
2. Frage: Diese Potenzreihe dient doch der Annäherung von cos [mm] \alpha, [/mm] wenn ich nun aber für die ersten Glieder für [mm] \alpha [/mm] eine beliebigen Zahl eingebe und diese mit dem cos derselben Zahl vergleiche, erkenne ich keine Annäherung!
Was sagt also die Potenzreihe aus, bzw wo liege ich in obigen Aussagen falsch?
Weiters würde dann die Entwicklung der Ausgangsformel nach Potenzen von cos [mm] \alpha [/mm] so aussehen:
[mm] \overline{FM} [/mm] = [mm] \bruch{R}{2\wurzel{1-sin^2\alpha}} [/mm] = [mm] \bruch{R}{2}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{1}{\bruch{\alpha^{2n}}{2n!}}
[/mm]
Zumindest soweit bin ich gekommen, ich habe allerdings keinen wirklichen Anhaltspunkt um die Richtigkeit zu beurteilen, oder generell um zu sagen ob ich die Aufgabenstellung überhaupt richtig angepackt habe. Das ich anstatt nach sin [mm] \alpha [/mm] nach cos [mm] \alpha [/mm] entwickelt habe sei jetzt mal nicht berücksichtigt. Insgesamt frage ich mich nur, wie ich eine Potenzreihe richtig entwickle!! Und nicht zuletzt, was fange ich mit dieser Angabe an:
[mm] 0<\alpha<\bruch{\pi}{2}? [/mm] Nur Einschränkung des Wertebereichs, oder hat dies eine weiter Auswirkung auf die Lösung?
Wäre sehr, sehr dankbar für eine Antwort, da ich hier ziemlich auf der Leitung stehe!
mfg Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Mo 17.01.2005 | | Autor: | leduart |
> Hallo!
> Meine erste Frage hier, bin übrigens begeistert von diesem
> Forum!
>
> Ich sollte
>
> [mm]\overline{FM}=\bruch{R}{2\wurzel{1-sin^2\alpha}}[/mm] mit
> [mm]0<\alpha<\bruch{\pi}{2}
[/mm]
> in eine "Reihe nach Potenz von sin [mm]\alpha[/mm] bis
> einschließlich zu Gliedern 4. Ordnung" entwickeln.
Hallo
Du sollst nicht nach [mm] \alpha [/mm] sondern nach sin( [mm] \alpha) [/mm] entwickeln!
also x= sin( [mm] \alpha) [/mm] und dann nach x entwickeln x [mm] \in [/mm] (0,1)
Hilft das?
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 18.01.2005 | | Autor: | Arisin |
Das Hilft! Danke!
Hm, ich habe es jetzt mal mit mit Substitution versucht und [mm] -sin^{2}\alpha=u [/mm] ersetzt.
Ich erhalte dann zuerst [mm] \bruch{R}{2}*(1-sin^{2}\alpha)^{\bruch{-1}{2}}und [/mm] dann [mm] \bruch{R}{2}*(1+u)^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
Und nun eine schöne Potenzreihe:
[mm] \bruch{R}{2}*\summe_{k=0}^{n} \vektor{\bruch{-1}{2} \\ k}1^{n-k}*u^{k}
[/mm]
Wobei [mm] 1^{n-k} [/mm] immer 1 ergibt und somit wegfällt.
Richtig so?
Ich hoffe, denn ich denke das ichs so weit verstanden hab. Nun die ersten 4 Glieder berechnen...
In den Unterlagen habe ich gefunden wie die ersten 4 Glieder aussehen sollen, und in Wikipedia.org findet man wie die Binomialkoeffizienten für [mm] n=\bruch{-1}{2} [/mm] aussehen. Damit ist das Ding (der Teil a davon) hoffentlich gelöst!
Teil b ist das ganze nach [mm] \alpha [/mm] zu entwickeln :)!
Super, vielen Dank leduart!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mi 19.01.2005 | | Autor: | leduart |
> Das Hilft! Danke!
>
> Hm, ich habe es jetzt mal mit mit Substitution versucht und
> [mm]-sin^{2}\alpha=u[/mm] ersetzt.
Da du nach sin(x) entwickeln sollst müsstest du sin(x) = u setzen!
> Ich erhalte dann zuerst
> [mm]\bruch{R}{2}*(1-sin^{2}\alpha)^{\bruch{-1}{2}}und[/mm] dann
> [mm]\bruch{R}{2}*(1+u)^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
>
> Und nun eine schöne Potenzreihe:
>
> [mm]\bruch{R}{2}*\summe_{k=0}^{n} \vektor{\bruch{-1}{2} \\ k}1^{n-k}*u^{k}
[/mm]
>
> Wobei [mm]1^{n-k}[/mm] immer 1 ergibt und somit wegfällt.
>
Ich weiß nicht, wie du auf die Reihe kommst,soweit ich weiß gilt die binomosche Reihe nur für ganzzahlige Exponenten
Warum nimmst du nicht die Taylorreihe bei u=0, da mußt du nur die ersten.vier Ableitungen ausrechnen und u=0 einsetzen.
Teil b kannst du dann entsprechend machen
Gruss leduart
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