Potenzreihen entwickeln < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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[mm] f(x)=((2x^2-4x)^2)/(1+2x^2-4x)
[/mm]
ich soll das in eine Potenzreihe entwickeln und den Konvergenzbereich ermittel
da bin ich wie folgt vorgegangen
[mm] (4x^4-8x^3+2x^2+14x^2)/(2x^2-4x+1)
[/mm]
[mm] =2x^2+14/(2x^2-4x+1)
[/mm]
[mm] =2x^2-14*(1/(1-(2x^2-4x)))
[/mm]
also hätt ich als Potenzreihe
[mm] 2x^2-14*\summe_{i=1}^{ \infty} (2x^2-4x)^n
[/mm]
aber erstens kommt mir das ein bisschen komisch vor
und ich weiß nicht (falls ich die Potenzreihe richtig bestimmt habe)
was ich als anschlußstelle wählen soll 0 oder 2
und wie ich hier den konvergenzbereich berechne
danke im vorhinein berni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Sa 01.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Berni
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wir freuen uns immer über ne Anrede am Anfang, von ner Gleichung fühl ich mich wenig angesprochen!
Erstmal dein Fehler beim Quadrieren
> [mm]f(x)=((2x^2-4x)^2)/(1+2x^2-4x)[/mm]
> [mm](4x^4-8x^3+2x^2+14x^2)/(2x^2-4x+1)[/mm]
Zähler ist falsch [mm] -16x^{3} [/mm] statt [mm] -8x^{3}
[/mm]
> ich soll das in eine Potenzreihe entwickeln und den
> Konvergenzbereich ermittel
>
> da bin ich wie folgt vorgegangen
> [mm](4x^4-8x^3+2x^2+14x^2)/(2x^2-4x+1)[/mm]
> [mm]=2x^2+14/(2x^2-4x+1)[/mm]
> [mm]=2x^2-14*(1/(1-(2x^2-4x)))[/mm]
>
> also hätt ich als Potenzreihe
>
> [mm]2x^2-14*\summe_{i=1}^{ \infty} (2x^2-4x)^n[/mm]
das ist zwar eine Reihe, aber KEINE Potenzreihe!
Potenzreihen haben die Form:
[mm]\summe_{i=1}^{ \infty}a_{i} (x-x_{1})^i[/mm]
> aber erstens kommt mir das ein bisschen komisch vor
> und ich weiß nicht (falls ich die Potenzreihe richtig
> bestimmt habe)
> was ich als anschlußstelle wählen soll 0 oder 2
> und wie ich hier den konvergenzbereich berechne
Da du keine Potenzreihe für x hast geht das auch nicht.
Du musst den Nenner in der Form [mm] 1-c(x-a)^{2} [/mm] schreiben, dann kannst du um x-a=0 entwickeln. Der konvergenzradius muss zw. den 2 Nullstellen des Nenners sein! teilweise ausdividieren musst du nicht unbedingt, kannst du aber.
Ich hoff, du schaffst es mit den Hinweisen allein, sonst schreib noch mal
Gruss leduart
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Hallo
und danke für die schnelle antwort
ich hoffe ich hab es richtig verstanden was du gemeint hast jetzt konnte ich wenigstens den konvergenzbereich berechnen
also ich hab
[mm] \bruch{(2x^2-4x)^2}{1+2x^2-4x} [/mm]
in (-1) * [mm] (2x^2-4x)^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{1-2(x-1)^2} [/mm]
umgewandelt
und bekomm so dann die potenzreihe
[mm] (-1)*(2x^2-4x)^2 [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} 2^n [/mm] * [mm] (x-1)^{2n}
[/mm]
und somit einen konvergenzradius von 1/2
und also absolut konvergent für x (0,5 , 1,5)
und für x=1 nicht konvergent
für x=1,5 divergent
ich hoffe es ist jetzt richtig danke im vorhinein
mfg berni
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 01:42 So 02.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig ,am ende hast du dich wohl verschrieben
> und somit einen konvergenzradius von 1/2
> und also absolut konvergent für x (0,5 , 1,5)
>
> und für x=1 nicht konvergent
falsch
hoffentlich x=0,5
> für x=1,5 divergent
was ist der unterschie zw. nicht konv. und divergent?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 So 02.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Berni
Leider ist doch noch ein Fehler, den ich gestern übersehen hab!
> [mm](-1)*(2x^2-4x)^2[/mm] * [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} 2^n[/mm] *
> [mm](x-1)^{2n}[/mm]
soweit r aber der Exp. von x-1 und [mm] an=2^{n} [/mm] ist ja verschieden also ist [mm] 2^{n} [/mm] nicht dein an sondern du musst [mm] 2^{n}=(\wurzel{2})^{2n} [/mm] schreiben! also
[mm](-1)*(2x^2-4x)^2[/mm] * [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} (\wurzel{2})^2n[/mm] *
[mm](x-1)^{2n}[/mm]
> und somit einen konvergenzradius von 1/2
damit ist auch der Konv.r [mm] 1/2*\wurzel{2}
[/mm]
man hätte das gleich sehen können, das [mm] 1\pm\wurzel{1/2} [/mm] die Nullstellen des Nenners sind!
Gruss leduart
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