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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:24 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Sei $f(x) = [mm] \sum_{k=0}^{n}a_k x^k$ [/mm] für feste [mm] $a_0, \cdots, a_n$ [/mm] aus [mm] $\IR$. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] a) $a_k [/mm] = [mm] \frac{1}{k!}f^{(k)} (0)$\\
[/mm]
b) $f(x+h) = [mm] \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k$
[/mm]
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Hallo,
mich irritiert bei dieser Aufgabe, dass ich keine Voraussetzungen, wie z.B. n-mal differenzierbar etc. habe. Eine Potenzreihe darf ich ja nicht einfach so gliedweise differenzieren.
Kann ich Aufgabe a) so ohne nähere Angaben einfach wiederholt gliedweise differenzieren und den entstehenden Ausdruck nach [mm] $a_k$ [/mm] umstellen?
Und was mache ich bei b)? Mir gelingt es nicht, das $x+h$ aus der Funktion zu lösen.
Gruß,
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:29 Di 16.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f(x) = \sum_{k=0}^{n}a_k x^k[/mm] für feste [mm]a_0, \cdots, a_n[/mm]
> aus [mm]\IR[/mm]. Zeigen Sie:
>
> a) [mm]a_k = \frac{1}{k!}f^{(k)} (0)[/mm][mm] \\[/mm]
>
> b) [mm]f(x+h) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k[/mm]
>
> Hallo,
>
> mich irritiert bei dieser Aufgabe, dass ich keine
> Voraussetzungen, wie z.B. n-mal differenzierbar etc. habe.
> Eine Potenzreihe darf ich ja nicht einfach so gliedweise
> differenzieren.
da steht ja auch keine Potenzreihe (dann stünde bei der oberen Summengrenze nicht [mm] $\,n\,$, [/mm] sondern [mm] $\infty$!), [/mm] sondern eine Polynomfunktion. Und für jedes $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] ist $x [mm] \mapsto x^k$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] unendlich oft stetig differenzierbar. Und das Summen-, Produkte diffbarer Abbildungen diff'bar sind, ist sicherlich bekannt.
> Kann ich Aufgabe a) so ohne nähere Angaben einfach
> wiederholt gliedweise differenzieren und den entstehenden
> Ausdruck nach [mm]a_k[/mm] umstellen?
So ähnlich. Für $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ berechne mal [mm] f^{(k)}. [/mm] Dann solltest Du erhalten (beachte: wenn man Konstanten (hier =konstante Funktionen) ableitet, so verschwindet die Ableitung):
[mm] $$f^{(k)}(x)=k!\,a_k\,x^0 [/mm] + [mm] \underbrace{(2*...*k*(k+1))}_{k\;Faktoren}*a_{k+1}x^1+\underbrace{(3*...*(k+1)*(k+2))}_{k\;Faktoren}*a_{k+2}x^2+...+(irgendwas)*a_{n}x^{n-k}$$ [/mm]
Setze dort $x=0$ ein (beachte die Konvention [mm] $0^0=1$).
[/mm]
(Notfalls schreibe Dir mal eine konkrete Polynomfunktion hin und mache es Dir klar:
[mm] $f(x)=3+2x+5x^2+7x^3+9x^4$.
[/mm]
Schreibe Dir $f'(x)$, $f''(x)$, $f''''(x)$ und $f''''(x)$ hin, und danach schau, was (nach und nach) passiert, wenn Du (nach und nach) $f'(0)$, $f''(0)$, $f''''(0)$ und $f''''(0)$ berechnest.)
> Und was mache ich bei b)? Mir gelingt es nicht, das [mm]x+h[/mm] aus
> der Funktion zu lösen.
b) folgt aus a). Nach a) gilt
[mm] $$f(h)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k\,.$$
[/mm]
Jetzt denke an eine Verschiebung dieser Funktion.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:18 Di 16.12.2008 | | Autor: | Palonina |
Hallo Marcel,
da ich in der letzten Woche krank war, weiß ich nicht genau, was wir gemacht haben. Deshalb habe ich im Forster geblättert und ein Corollar zu den Potenzreihen gefunden, dass hier (wenn eben der "kleine" Unterschied mit dem [mm] $\infty$ [/mm] nicht wäre, gepasst hätte. Aber da alle benötigten Voraussetzungen nicht gegeben sind, kann ich es natürlich nicht anwenden.
Nachdem du mir jetzt klar gemacht hast, dass es sich um eine Polynomfunktion handelt, ist der Rest auch verständlich und klar, danke.
> b) folgt aus a). Nach a) gilt
>
> [mm]f(h)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k\,.[/mm]
>
> Jetzt denke an eine Verschiebung dieser Funktion.
Wenn ich statt $f(h) f(x+h)$ schreibe, wird die Funktion um x nach links verschoben, ich weiß aber nicht, wie sich dass in der Summe äußert. Verschiebungen habe ich bisher nur bei konkreten Funktionen vorgenommen, die ich hinterher ausmultiplizieren konnte oder wie bei de Sinusfunktion, die dann so stehen bleibt.
Palonina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Di 16.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Schreib mal den Satz von Taylor bis zur Ordnung n hin,
also f(x+h) = [mm] T_n(x,h) [/mm] + [mm] R_n(x,h),
[/mm]
wobei [mm] T_n [/mm] das n-te Taylorpolynom ist und [mm] R_n [/mm] das zugehörige Restglied.
Wenn Du das machst, hast Du (b) vor der Nase.
Beachte: [mm] f^{(n+1)} [/mm] ist die Nullfunktion !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Di 16.12.2008 | | Autor: | Palonina |
> Schreib mal den Satz von Taylor bis zur Ordnung n hin,
>
> also f(x+h) = [mm]T_n(x,h)[/mm] + [mm]R_n(x,h),[/mm]
>
> wobei [mm]T_n[/mm] das n-te Taylorpolynom ist und [mm]R_n[/mm] das zugehörige
> Restglied.
Hallo,
ich glaube, ich stehe grad auf dem Schlauch - ich habe das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich mit der Summe in f(x+h) umgehen soll und wie ich die beiden Argumente von [mm] $T_n(x,h)$ [/mm] unterbringen soll.
Eine Taylorreihe ist [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^n [/mm] + [mm] R_n$ [/mm] mit dem Entwicklungszentrum [mm] $x_0$ [/mm] bzw. habe ich aus a)
$ [mm] f(h)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k\,. [/mm] $, mit dem Entwicklungszentum 0.
Ist hier das Entwicklungszentrum vielleicht x, was sich durch die Verschiebung $x+h$ ausdrückt? Müsste es dann aber nicht $h-x$ heißen?
Das Restglied ist 0, da ich eine Polynomfunktion n-ten Grades habe, und daher die Ableitungen ab der (n+1)-ten Ableitung 0 sind.
Palonina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Di 16.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Schreib mal den Satz von Taylor bis zur Ordnung n hin,
> >
> > also f(x+h) = [mm]T_n(x,h)[/mm] + [mm]R_n(x,h),[/mm]
> >
> > wobei [mm]T_n[/mm] das n-te Taylorpolynom ist und [mm]R_n[/mm] das zugehörige
> > Restglied.
>
> Hallo,
>
> ich glaube, ich stehe grad auf dem Schlauch - ich habe das
> Problem, dass ich nicht weiß, wie ich mit der Summe in
> f(x+h) umgehen soll und wie ich die beiden Argumente von
> [mm]T_n(x,h)[/mm] unterbringen soll.
>
> Eine Taylorreihe ist [mm]f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^n + R_n[/mm]
> mit dem Entwicklungszentrum [mm]x_0[/mm] bzw. habe ich aus a)
> [mm]f(h)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k\,. [/mm], mit dem
> Entwicklungszentum 0.
>
> Ist hier das Entwicklungszentrum vielleicht x...
ja. $x$ ist hier als fester Punkt anzusehen, $h$ die Variable, also wenn man das in ![[]](/images/popup.gif) Taylorformel einsetzt, folgt
[mm] $$f(h)=\underbrace{\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x)}{k!}(h-x)^k}_{T_n(x,h)=T_n(h)}+\underbrace{R_{n}(x,h)}_{=R_n(h)\equiv 0}\,.$$
[/mm]
Ersetze nun $h$ durch $x+h$.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Palonina |
Danke, jetzt habe ich es auch endlich verstanden, hab vor lauter Variablen den Wald nicht gesehen.
Gruß,
Palonina
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