Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:52 So 07.12.2008 | | Autor: | lichtpeter |
| Aufgabe | Zeigen sie mit dem Cauchy-Produkt, dass [mm] cos^{2}x [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1 [/mm] + cos(2x)) für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Es darf dabei ohne Beweis genutzt werden, dass [mm] \summe_{k=o}^{n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] = [mm] 2^{2n-1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt.
(gemeint ist nicht der Vektor, sondern der Binominalkoeffizient, hab kein Symbol dafür gefunden und sieht ja ähnlich aus ;) ) |
Hallo Forum! Ist mein erster Beitrag hier, nachdem ich schon längere Zeit mitgelesen (und dabei auch schon einiges gelernt) habe...
Ich knobele grade an der obigen Aufgabenstellung. Im Grunde ja nur ein wenig Rechnerei. Aber irgendwo ist bei mir der Wurm drin, ich komme zwar auf eine Gleichung, die der geforderten sehr ähnlich ist, aber eben nicht identisch.
Mein Rechenweg bisher sieht so aus:
Der Ausgangspunkt ist cosx * cosx
Also mal die Potenzreihenschreibweise eingesetzt:
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}
[/mm]
Multiplikation per Cauchy-Produkt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}\bruch{(-1)^{n-k}}{(2(n-k))!}x^{2k}x^{2(n-k)}
[/mm]
Jetzt mit wird der Bruch mit [mm] \bruch{(2n)!}{(2n)!} [/mm] erweitert und die Exponenten vom x zusammengefasst.
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}\bruch{(2n)!}{((2k)!(2n-2k)!}x^{2n}
[/mm]
Das [mm] \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} [/mm] kann ich aus der inneren Summe rausziehen, da nicht mehr vom k abhängig. Außerdem den Rest vom Bruch als Binominalkoeffizient geschrieben.
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}\summe_{k=0}^{n}\vektor{2n \\ 2k}x^{2n}
[/mm]
Jetzt den Hinweis aus der Aufgabenstellung genutzt, also [mm] \summe_{k=o}^{n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] = [mm] 2^{2n-1}. [/mm] Die innere Summe kann ich jetzt ganz wegfallen lassen, da gar nix mehr vom k abhängt, sondern nur über n summiert wird.
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n}
[/mm]
Das kann man auch schreiben als:
= [mm] \bruch{1}{2}(2\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n})
[/mm]
Jetzt die Konstante 2 reingezogen. Wandert in den Exponenten von 2:
= [mm] \bruch{1}{2}(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n}x^{2n})
[/mm]
2 und x werden multipliziert und haben denselben exponenten -> Kann man auch so schreiben:
= [mm] \bruch{1}{2}(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n})
[/mm]
Problem: Das ist jetzt
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] cos(2x), aber gefordert war: [mm] \bruch{1}{2}(1+ [/mm] cos(2x))
Wo hab ich denn nun diese 1 bzw. 2 verloren? Außerdem bin ich mir auch nicht bei allen meinen Schritten 100% sicher, ob ich das alles so machen darf. Wäre also toll, wenn da mal jemand seinen geübten Blick drüberschweifen lassen könnte ;)
Puh, das war ne ganz schöne Tipparbeit. Hoffe, ich habe in dem ganzen Summengewirr keine Fehler beim aufschreiben gemacht. Habe aber nochmal drübergeschaut, sieht nicht so aus.
mfg,
lp
Und weils verlangt wird:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo lichtpeter, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Vorab ein ganz großes Lob: Du hast Dich sofort mit dem Formeleditor auseinandergesetzt und Deine Anfrage gelungen formatiert. So macht es Spaß, sie zu lesen und nachzuverfolgen. Außerdem stellst du eine erhebliche Eigenleistung bereit. Ich kann Dir versprechen, dass Du mit solchen Anfragen immer Hilfe finden wirst. Ob nun meine folgenden Anmerkungen das schon belegen können, darf ich bezweifeln. Aber wenn Wesentliches fehlt, werden sich andere melden, wenn auch vielleicht nicht mehr um diese Tageszeit...
> Zeigen sie mit dem Cauchy-Produkt, dass [mm]cos^{2}x[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}(1[/mm] + cos(2x)) für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Es darf dabei
> ohne Beweis genutzt werden, dass [mm]\summe_{k=o}^{n} \vektor{2n \\ 2k}[/mm]
> = [mm]2^{2n-1}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt.
>
> (gemeint ist nicht der Vektor, sondern der
> Binominalkoeffizient, hab kein Symbol dafür gefunden und
> sieht ja ähnlich aus ;) )
Genau. In der graphischen Darstellung sind sie auch nicht unterscheidbar.
Kommentar zu Deiner Rechnung:
> Der Ausgangspunkt ist cosx * cosx
>
> Also mal die Potenzreihenschreibweise eingesetzt:
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}[/mm] *
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}[/mm]
>
> Multiplikation per Cauchy-Produkt:
>
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}\bruch{(-1)^{n-k}}{(2(n-k))!}x^{2n}x^{2(n-k)}[/mm]
>
> Jetzt mit wird der Bruch mit [mm]\bruch{(2n)!}{(2n)!}[/mm] erweitert
> und die Exponenten vom x zusammengefasst.
Gute Ankündigung. Folgen Taten?
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}\bruch{(2n)!}{((2k)!(2n-2k)!}x^\red{{2n}}[/mm]
Sicher?
>
> Das [mm]\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}[/mm] kann ich aus der inneren Summe
> rausziehen, da nicht mehr vom k abhängig. Außerdem den Rest
> vom Bruch als Binominalkoeffizient geschrieben.
>
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}\summe_{k=0}^{n}\vektor{2n \\ 2k}x^{2n}[/mm]
>
> Jetzt den Hinweis aus der Aufgabenstellung genutzt, also
> [mm]\summe_{k=o}^{n} \vektor{2n \\ 2k}[/mm] = [mm]2^{2n-1}.[/mm] Die innere
> Summe kann ich jetzt ganz wegfallen lassen, da gar nix mehr
> vom k abhängt, sondern nur über n summiert wird.
>
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n}[/mm]
>
> Das kann man auch schreiben als:
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}(2\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n})[/mm]
>
> Jetzt die Konstante 2 reingezogen. Wandert in den
> Exponenten von 2:
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n}x^{2n})[/mm]
>
> 2 und x werden multipliziert und haben denselben exponenten
> -> Kann man auch so schreiben:
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n})[/mm]
>
> Problem: Das ist jetzt
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] cos(2x), aber gefordert war: [mm]\bruch{1}{2}(1+[/mm]
> cos(2x))
>
> Wo hab ich denn nun diese 1 bzw. 2 verloren? Außerdem bin
> ich mir auch nicht bei allen meinen Schritten 100% sicher,
> ob ich das alles so machen darf. Wäre also toll, wenn da
> mal jemand seinen geübten Blick drüberschweifen lassen
> könnte ;)
Einen großen Teil der geschickten Rechnung musst Du wohl noch überarbeiten. Meld Dich doch nochmal mit dem dann erzielten Ergebnis.
> Puh, das war ne ganz schöne Tipparbeit. Hoffe, ich habe in
> dem ganzen Summengewirr keine Fehler beim aufschreiben
> gemacht. Habe aber nochmal drübergeschaut, sieht nicht so
> aus.
Wie gesagt: gut gemacht!
> mfg,
> lp
LG,
rev
> Und weils verlangt wird:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Danke.
Verlangt wird aber nur, dass Du einfach ehrlich angibst, ob Du diese Frage irgendwo anders eingestellt hast. Wenn ja: wo?
Etwaigen Helfern wird so ermöglicht, nachzusehen, ob sich ihre Arbeit noch lohnt. Vielleicht hast Du ja dann anderswo längst den nötigen Tipp erhalten. Wenn nicht, bekommst Du ihn eben hier.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:18 So 07.12.2008 | | Autor: | lichtpeter |
Hi reverend,
Erstmal vielen Dank für deine Antwort. Das Problem ist damit leider nicht behoben, du hast im Grunde nur einen der von mir schon befürchteten Fehlern beim abschreiben gefunden. Richtig muss die Formel vor der Umformung nämlich so heißen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}\bruch{(-1)^{n-k}}{(2(n-k))!}x^{2k}x^{2(n-k)}
[/mm]
Dann ist auch meine Umformung richtig. Denn 2k+2n-2k = 2n.
Ich werde das gleich auch noch in die ursprüngliche Frage reineditieren.
edit: hmm, hätte ich jetzt nicht als frage schreiben sollen. Kann man das im nachhinein noch ändern? Ansonsten: Ignorieren, es geht immer noch nur um das oben beschriebene Problem ;)
|
|
|
| |
|
Hallo lichtpeter,
> Zeigen sie mit dem Cauchy-Produkt, dass [mm]cos^{2}x[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}(1[/mm] + cos(2x)) für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Es darf dabei
> ohne Beweis genutzt werden, dass [mm]\summe_{k=o}^{n} \vektor{2n \\ 2k}[/mm]
> = [mm]2^{2n-1}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt.
>
> (gemeint ist nicht der Vektor, sondern der
> Binominalkoeffizient, hab kein Symbol dafür gefunden und
> sieht ja ähnlich aus ;) )
> Hallo Forum! Ist mein erster Beitrag hier, nachdem ich
> schon längere Zeit mitgelesen (und dabei auch schon einiges
> gelernt) habe...
>
> Ich knobele grade an der obigen Aufgabenstellung. Im Grunde
> ja nur ein wenig Rechnerei. Aber irgendwo ist bei mir der
> Wurm drin, ich komme zwar auf eine Gleichung, die der
> geforderten sehr ähnlich ist, aber eben nicht identisch.
>
> Mein Rechenweg bisher sieht so aus:
>
> Der Ausgangspunkt ist cosx * cosx
>
> Also mal die Potenzreihenschreibweise eingesetzt:
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}[/mm] *
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}[/mm]
>
> Multiplikation per Cauchy-Produkt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}\bruch{(-1)^{n-k}}{(2(n-k))!}x^{2k}x^{2(n-k)}[/mm]
>
> Jetzt mit wird der Bruch mit [mm]\bruch{(2n)!}{(2n)!}[/mm] erweitert
> und die Exponenten vom x zusammengefasst.
>
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}\bruch{(2n)!}{((2k)!(2n-2k)!}x^{2n}[/mm]
>
> Das [mm]\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}[/mm] kann ich aus der inneren Summe
> rausziehen, da nicht mehr vom k abhängig. Außerdem den Rest
> vom Bruch als Binominalkoeffizient geschrieben.
>
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}\summe_{k=0}^{n}\vektor{2n \\ 2k}x^{2n}[/mm]
>
> Jetzt den Hinweis aus der Aufgabenstellung genutzt, also
> [mm]\summe_{k=o}^{n} \vektor{2n \\ 2k}[/mm] = [mm]2^{2n-1}.[/mm] Die innere
> Summe kann ich jetzt ganz wegfallen lassen, da gar nix mehr
> vom k abhängt, sondern nur über n summiert wird.
>
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n}[/mm]
Diese Summe so stehen lassen.
Dann berechnest jetzt für die rechte Seite eine ähnliche Darstellung.
Und setzt diese dann ins Verhältnis.
>
> Das kann man auch schreiben als:
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}(2\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n})[/mm]
>
> Jetzt die Konstante 2 reingezogen. Wandert in den
> Exponenten von 2:
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n}x^{2n})[/mm]
>
> 2 und x werden multipliziert und haben denselben exponenten
> -> Kann man auch so schreiben:
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n})[/mm]
>
> Problem: Das ist jetzt
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] cos(2x), aber gefordert war: [mm]\bruch{1}{2}(1+[/mm]
> cos(2x))
>
> Wo hab ich denn nun diese 1 bzw. 2 verloren? Außerdem bin
> ich mir auch nicht bei allen meinen Schritten 100% sicher,
> ob ich das alles so machen darf. Wäre also toll, wenn da
> mal jemand seinen geübten Blick drüberschweifen lassen
> könnte ;)
>
> Puh, das war ne ganz schöne Tipparbeit. Hoffe, ich habe in
> dem ganzen Summengewirr keine Fehler beim aufschreiben
> gemacht. Habe aber nochmal drübergeschaut, sieht nicht so
> aus.
>
> mfg,
> lp
>
> Und weils verlangt wird:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
>
> Diese Summe so stehen lassen.
>
> Dann berechnest jetzt für die rechte Seite eine ähnliche
> Darstellung.
>
> Und setzt diese dann ins Verhältnis.
>
Hallo Mathepower,
Danke für die Antwort (und fürs ändern vom Status der 2. Frage ;) )
Ich hab das jetzt grad mal versucht:
Ich will ja zu [mm] \bruch{1}{2}(1+cos(2x))
[/mm]
Also: Potenzreihenschreibweise einsetzen:
= [mm] \bruch{1}{2}(1 [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n})
[/mm]
Ausmultiplizieren:
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n}x^{2n}
[/mm]
und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] in die Summe ziehen:
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n}
[/mm]
Nun ist das aber:
[mm] \not= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n}
[/mm]
Das Problem bleibt also dasselbe. Da muss irgendwas in meiner Rechnung oder der Aufgabenstellung nicht stimmen. Ich gehe natürlich erstmal von ersterem aus.
mfg,
lp
|
|
|
| |
|
Hallo lichtpeter,
> >
> > Diese Summe so stehen lassen.
> >
> > Dann berechnest jetzt für die rechte Seite eine
> ähnliche
> > Darstellung.
> >
> > Und setzt diese dann ins Verhältnis.
> >
>
> Hallo Mathepower,
>
> Danke für die Antwort (und fürs ändern vom Status der 2.
> Frage ;) )
>
> Ich hab das jetzt grad mal versucht:
>
> Ich will ja zu [mm]\bruch{1}{2}(1+cos(2x))[/mm]
>
> Also: Potenzreihenschreibweise einsetzen:
>
> = [mm]\bruch{1}{2}(1[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n})[/mm]
>
> Ausmultiplizieren:
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n}x^{2n}[/mm]
>
> und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] in die Summe ziehen:
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n}[/mm]
>
> Nun ist das aber:
>
> [mm]\not= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n}[/mm]
>
> Das Problem bleibt also dasselbe. Da muss irgendwas in
> meiner Rechnung oder der Aufgabenstellung nicht stimmen.
> Ich gehe natürlich erstmal von ersterem aus.
Jetzt fällt mir das erst auf:
[mm]\summe_{k=0}^{n}\pmat{2n \\ 2k}=2^{2n-1}[/mm]
Ist diese Summe auf für n=0 definiert?
Dann würde nämlich da stehen:
[mm]\summe_{k=0}^{0}\pmat{0 \\ 2k}=\pmat{0 \\ 0}=2^{-1}[/mm]
Und das kann ja wohl nicht sein.
Nachdem 0!=1 muß hier eine 1 stehen.
Dann gilt für alle [mm]n \in \IN_{0}[/mm]:
[mm]\summe_{k=0}^{n}\pmat{2n \\ 2k}=\left\{\begin{matrix} 2^{2n-1} & n>0 \\ 1 & n=0 \end{matrix}\right[/mm]
>
> mfg,
> lp
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Da hast du recht. In der Aufgabenstellung steht das es auf allen n [mm] \in \IN [/mm] gilt. Wir haben [mm] \IN [/mm] aber auch so definiert, das die 0 nicht enthalten ist.
Danke für den Tipp.
Jetzt bin ich aber nicht ganz sicher, wie ich damit umgehe.
Ich kann ja den Fall n=0 aus der Summe herausziehen und den Index entsprechend anpassen, also:
1 + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n}
[/mm]
Die restlichen Umformungen würden ja identisch funktionieren und ich käme dann auf:
[mm] \bruch{1}{2}(1+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n})
[/mm]
Sieht ja schonmal ganz gut aus.
Aber jetzt muss ich ja den Index wieder auf die 0 bekommen, um die Potenzreihendarstellung vom Cosinus zu erhalten, oder? Wie kann ich das denn nun anstellen? Indexverschiebung bringt mir ja nix, da ich damit ja auch nicht auf die Potenzreihendarstellung vom Cosinus komme.
mfg,
lp
|
|
|
| |
|
Hallo lichtpeter,
> Da hast du recht. In der Aufgabenstellung steht das es auf
> allen n [mm]\in \IN[/mm] gilt. Wir haben [mm]\IN[/mm] aber auch so definiert,
> das die 0 nicht enthalten ist.
> Danke für den Tipp.
>
> Jetzt bin ich aber nicht ganz sicher, wie ich damit umgehe.
> Ich kann ja den Fall n=0 aus der Summe herausziehen und den
> Index entsprechend anpassen, also:
>
> 1 +
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n}[/mm]
>
> Die restlichen Umformungen würden ja identisch
> funktionieren und ich käme dann auf:
>
> [mm]\bruch{1}{2}(1+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n})[/mm]
>
> Sieht ja schonmal ganz gut aus.
> Aber jetzt muss ich ja den Index wieder auf die 0
> bekommen, um die Potenzreihendarstellung vom Cosinus zu
> erhalten, oder? Wie kann ich das denn nun anstellen?
> Indexverschiebung bringt mir ja nix, da ich damit ja auch
> nicht auf die Potenzreihendarstellung vom Cosinus komme.
Der Index n bei der Summe muß von 0 ab laufen,
da die Reihe des Cosinus ebenfalls bei 0 beginnt.
>
> mfg,
> lp
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 So 07.12.2008 | | Autor: | lichtpeter |
> Der Index n bei der Summe muß von 0 ab laufen,
> da die Reihe des Cosinus ebenfalls bei 0 beginnt.
Eben das meine ich ja. Ich steh nur gerade ein wenig auf dem Schlauch, wie ich das jetzt hinbekomme. Nun ja, ich werd mal noch ein wenig nachdenken. Falls du aber noch einen Tipp für mich hast, wäre ich echt dankbar, denn aktuell fällt mir dazu nichts ein.
mfg,
lp
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 So 07.12.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo lichtpeter,
> > Der Index n bei der Summe muß von 0 ab laufen,
> > da die Reihe des Cosinus ebenfalls bei 0 beginnt.
>
> Eben das meine ich ja. Ich steh nur gerade ein wenig auf
> dem Schlauch, wie ich das jetzt hinbekomme. Nun ja, ich
> werd mal noch ein wenig nachdenken. Falls du aber noch
> einen Tipp für mich hast, wäre ich echt dankbar, denn
> aktuell fällt mir dazu nichts ein.
Es gilt ja:
[mm]\cos\left(2x\right)=\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n\right)!}}\left(2x\right)^{2n}[/mm]
Dann steht da:
[mm]\bruch{1}{2}\left(1+\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n\right)!}}\left(2x\right)^{2n}\right)[/mm]
Um das jetzt auf die andere Form zu bringen, spalte die Summe auf:
[mm]\bruch{1}{2}\left(1+\bruch{\left(-1\right)^{0}}{\left(2*0\right)!}\left(2x\right)^{2*0}+\summe_{n=1}^{\infty}{\bruch{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n\right)!}}\left(2x\right)^{2n}\right)[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}\left(1+1+\summe_{n=1}^{\infty}{\bruch{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n\right)!}}\left(2x\right)^{2n}\right)[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}\left(2+\summe_{n=1}^{\infty}{\bruch{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n\right)!}}\left(2x\right)^{2n}\right)[/mm]
So, jetzt mußt Du aber etwas erkennen.
>
> mfg,
> lp
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 So 07.12.2008 | | Autor: | lichtpeter |
Danke. Es hat endlich klick gemacht.
Denn
[mm] \bruch{1}{2}(2+\summe_{n=1}^{\infty}{\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}}(2x)^{2n})
[/mm]
= 1 + [mm] \bruch{1}{2}\summe_{n=1}^{\infty}{\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}}2^{2n}(x)^{2n})
[/mm]
= 1 + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}{\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}}2^{2n-1}(x)^{2n})
[/mm]
Und das hab ich ja schon erreicht.
Danke für den Tipp. Manchmal hab ich echt Tomaten auf den Augen.
|
|
|
| |
|
Hallo lichtpeter,
> Da hast du recht. In der Aufgabenstellung steht das es auf
> allen n [mm]\in \IN[/mm] gilt. Wir haben [mm]\IN[/mm] aber auch so definiert,
> das die 0 nicht enthalten ist.
> Danke für den Tipp.
>
> Jetzt bin ich aber nicht ganz sicher, wie ich damit umgehe.
> Ich kann ja den Fall n=0 aus der Summe herausziehen und den
> Index entsprechend anpassen, also:
>
> 1 +
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}2^{2n-1}x^{2n}[/mm]
>
> Die restlichen Umformungen würden ja identisch
> funktionieren und ich käme dann auf:
>
> [mm]\bruch{1}{2}(1+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n})[/mm]
>
> Sieht ja schonmal ganz gut aus.
> Aber jetzt muss ich ja den Index wieder auf die 0
> bekommen, um die Potenzreihendarstellung vom Cosinus zu
> erhalten, oder? Wie kann ich das denn nun anstellen?
> Indexverschiebung bringt mir ja nix, da ich damit ja auch
> nicht auf die Potenzreihendarstellung vom Cosinus komme.
Diese Frage habe ich schon hier beantwortet.
>
> mfg,
> lp
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Erstmal danke für deine Antworten (hab ich grade ganz vergessen ;) )
Also, wenn du das als Antwort siehst, verstehe ich wohl die Antwort noch nicht. Mein Problem ist doch eben, das ich NICHT auf Potenzreihendarstellung vom Cosinus komme, obwohl das das Ziel wäre. Ich kann doch hier nicht damit argumentieren, das ja die Cosinusreihe herauskommen muss, weil das so in der Aufgabenstellung steht :D
Ich komme bisher ja nur auf die Darstellung, die in meiner letzten Frage steht, also:
[mm] \bruch{1}{2}(1+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n}) [/mm]
Die stimmt ja wie gesagt nicht mit dem Ziel, also
[mm] \bruch{1}{2}(1+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n}) [/mm]
überein.
Jetzt gibt es doch 2 Möglichkeiten: Entweder ich habe vorher schon einen Fehler gemacht (Rechenweg steht ja oben, ich kann aber leider nichts finden), oder ich kann das jetzt irgendwie noch so umformen, das ich auf die Cosinusreihe komme. Zu letzterem habe ich aber keine Idee mehr - ich habe soweit ich weiß als einziges Mittel die Indexverschiebung zur Verfügung und die würde die Reihe noch weiter verändern, was mir auch nicht helfen würde. Also muss der Fehler woanders sitzen. Nur: wo?
Ich hoffe, das Problem ist jetzt etwas klarer geworden. Sonst kann ich auch nochmal den gesamten Rechenweg, soweit er bis jetzt fortgeschritten ist, ganz oben reineditieren, der Übersicht halber.
mfg,
lp
|
|
|
| |
|
Hallo lichtpeter,
> Erstmal danke für deine Antworten (hab ich grade ganz
> vergessen ;) )
>
> Also, wenn du das als Antwort siehst, verstehe ich wohl die
> Antwort noch nicht. Mein Problem ist doch eben, das ich
> NICHT auf Potenzreihendarstellung vom Cosinus komme, obwohl
> das das Ziel wäre. Ich kann doch hier nicht damit
> argumentieren, das ja die Cosinusreihe herauskommen muss,
> weil das so in der Aufgabenstellung steht :D
>
> Ich komme bisher ja nur auf die Darstellung, die in meiner
> letzten Frage steht, also:
>
> [mm]\bruch{1}{2}(1+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n})[/mm]
>
> Die stimmt ja wie gesagt nicht mit dem Ziel, also
>
> [mm]\bruch{1}{2}(1+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}(2x)^{2n})[/mm]
> überein.
>
> Jetzt gibt es doch 2 Möglichkeiten: Entweder ich habe
> vorher schon einen Fehler gemacht (Rechenweg steht ja oben,
> ich kann aber leider nichts finden), oder ich kann das
> jetzt irgendwie noch so umformen, das ich auf die
> Cosinusreihe komme. Zu letzterem habe ich aber keine Idee
> mehr - ich habe soweit ich weiß als einziges Mittel die
> Indexverschiebung zur Verfügung und die würde die Reihe
> noch weiter verändern, was mir auch nicht helfen würde.
> Also muss der Fehler woanders sitzen. Nur: wo?
Fehler ist da keiner.
Der Trick ist nun, daß man die Summe ausfspaltet.
>
> Ich hoffe, das Problem ist jetzt etwas klarer geworden.
> Sonst kann ich auch nochmal den gesamten Rechenweg, soweit
> er bis jetzt fortgeschritten ist, ganz oben reineditieren,
> der Übersicht halber.
>
> mfg,
> lp
>
Gruß
MathePower
|
|
|
|
