Potenzreihe Koeff. gesucht < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Do 23.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(k+2)^{2}}{2^{k+2}} \* y^{k} [/mm] |
Mein Koeff [mm] a_{k} [/mm] ist nun [mm] \bruch{(k+2)^{2}}{2^{k+2}}
[/mm]
Nun muss ich um aussagen über die Konvergenz treffen zu können ja
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}|
[/mm]
berechnen.
In meinem Fall also
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{(k+2)^{2}}{2^{k+2}}}{\bruch{(k+3)^{2}}{2^{k+3}}}|
[/mm]
Ließe sich auch so schreiben:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(k+2)^{2}}{2^{k+2}} \* \bruch{2^{k+3}}{(k+3)^{2}}|
[/mm]
Nun kann man bestimmt noch munter in diesem Bruch herumkürzen, so dass am Ende was ganz einfaches dabei herauskommt, wo sich eine eindeutige Aussage hinsichtlich des Limes treffen lässt, damit habe ich immer so meine Probleme, wäre nett wenn mir hier jemand weiter helfen könnte, wenn möglich mit Zwischenschritten, damit ich das ganze auch nachvollziehen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Do 23.04.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(k+2)^{2}}{2^{k+2}} \* y^{k}[/mm]
>
> Mein Koeff [mm]a_{k}[/mm] ist nun [mm]\bruch{(k+2)^{2}}{2^{k+2}}[/mm]
>
> Nun muss ich um aussagen über die Konvergenz treffen zu
> können ja
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}|[/mm]
>
> berechnen.
>
> In meinem Fall also
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{(k+2)^{2}}{2^{k+2}}}{\bruch{(k+3)^{2}}{2^{k+3}}}|[/mm]
>
> Ließe sich auch so schreiben:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{(k+2)^{2}}{2^{k+2}} \* \bruch{2^{k+3}}{(k+3)^{2}}|[/mm]
>
> Nun kann man bestimmt noch munter in diesem Bruch
> herumkürzen, so dass am Ende was ganz einfaches dabei
> herauskommt, wo sich eine eindeutige Aussage hinsichtlich
> des Limes treffen lässt, damit habe ich immer so meine
> Probleme, wäre nett wenn mir hier jemand weiter helfen
> könnte, wenn möglich mit Zwischenschritten, damit ich das
> ganze auch nachvollziehen kann.
[mm]\bruch{(k+2)^{2}}{2^{k+2}} \* \bruch{2^{k+3}}{(k+3)^{2}}|[/mm]= [mm]\bruch{(k+2)^{2}}{2^{k+2}} \* \bruch{2*2^{k+2}}{(k+3)^{2}}|[/mm],
und jetzt kannst du den Faktor [mm] 2^{k+2} [/mm] kürzen.
Aber hast du nicht das Verhältnis verkehrtherum angesetzt?
Muss es nicht [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] heißen?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Do 23.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | 2 [mm] \* \bruch{k^{2}+4k+4}{k^{2}+6k+9} [/mm] |
Hallo,
ja dieser Idee bin ich auch schon nach gegangen und sie führt mich zu obigem Term. Kann ich nun l'Hospital anwenden was mich zu einem Ergebnis von 2 für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] führt?
@abakus:
Was du meinst ist das Quotientenkriterium, da muss ich natürlich den Betrag von [mm] \lambda [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{b_{k+1}}{b_{k}}| [/mm] betrachten.
Wenn nun aber [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k \* x^{k}} [/mm] ist,
dann muss ich für den Konvergenzradius [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k}}{a_{k+1}}| [/mm] betrachten.
Ist dieser <1 dann konvergiert die Reihe.
Zumindest hab ich das so verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Do 23.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Untersuche noch, wie es am Rand aussieht, also für |y|=2, also für $ [mm] y=\pm [/mm] 2 $ |
Hallo schachuzipus.
Könntest du mir sagen was ich dafür tun muss, bisher hatte ich immer nur so simple Beispiele wo der Konvergenzradius dann ein war und der Vorfaktor sowas wie [mm] \bruch{1}{k^{2}}, [/mm] woe man dann sehen konnte dass es Konvergent ist.
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Hallo nochmal,
> Untersuche noch, wie es am Rand aussieht, also für |y|=2,
> also für [mm]y=\pm 2[/mm]
> Hallo schachuzipus.
>
> Könntest du mir sagen was ich dafür tun muss, bisher hatte
> ich immer nur so simple Beispiele wo der Konvergenzradius
> dann ein war und der Vorfaktor sowas wie [mm]\bruch{1}{k^{2}},[/mm]
> woe man dann sehen konnte dass es Konvergent ist.
Na, setze doch mal $y=2$ und $y=-2$ in die Reihe ein.
Für $y=2$ erhältst du
[mm] $\sum\frac{(k+2)^2}{2^{k+2}}\cdot{}2^k=\sum\frac{(k+2)^2}{4}=\frac{1}{4}\sum (k+2)^2$
[/mm]
Und konvergiert das oder divergiert das?
Für $y=-2$ bist du am Start!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Do 23.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \sum\frac{(k+2)^2}{2^{k+2}}\cdot{}2^k=\sum\frac{(k+2)^2}{4}=\frac{1}{4}\sum (k+2)^2 [/mm] $ |
Brilliant,
ich habe das Quotientenkriterium angewendet und bin damit auf [mm] \lambda [/mm] = 1 gekommen und konnte somit keine Aussage treffen .... bei dir sieht man natürlich, dass es Divergent ist. Da das ganze gegen Unendlich läuft, gibt es ein Kriterium mit dem ich dies zeigen kann oder ist das einfach nur genau hinschauen und es dann wissen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:46 Fr 24.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\sum\frac{(k+2)^2}{2^{k+2}}\cdot{}2^k=\sum\frac{(k+2)^2}{4}=\frac{1}{4}\sum (k+2)^2[/mm]
>
> Brilliant,
>
> ich habe das Quotientenkriterium angewendet und bin damit
> auf [mm]\lambda[/mm] = 1 gekommen und konnte somit keine Aussage
> treffen ....
Das war zu erwarten, da du den Konvergenzradius mit dem Quotientenkritierum bestimmt hast. Das Wurzelkriterium duerfte hier genauso wenig Erfolg haben.
Du musst dir die Reihe also schon genauer anschauen und andere Kriterien verwenden.
> bei dir sieht man natürlich, dass es Divergent
> ist.
Genau.
> Da das ganze gegen Unendlich läuft, gibt es ein
> Kriterium mit dem ich dies zeigen kann oder ist das einfach
> nur genau hinschauen und es dann wissen?
Fuer eine konvergente Reihe [mm] $\sum_{n\in\IN} a_n$ [/mm] gilt [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = 0$; da dies hier offensichtlich nicht gilt kann die Reihe nicht konvergent sein.
LG Felix
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