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| Aufgabe | Gesucht ist der Konvergenzradius folgender Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}3^n z^{2n} [/mm] |
Hey Leute,
da man Hadamard nicht direkt anwenden kann, habe ich mir die Herleitung der Formel angeguckt und das obige dann analog zum klassichen Fall zu folgendem umgeformt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}3^n z^{2n} [/mm] konvergiert falls,
[mm] limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n z^{2n}|}<1 [/mm] <=>
[mm] |z^2|*lim sup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n|}<1 [/mm] <=>
[mm] |z^2|<\bruch1{lim sup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n|}}
[/mm]
[mm] |z^2|<\bruch1{3}
[/mm]
Kann dies jemand bestätigen?
Falls ja, wie erhalte ich weiter den Konvergenzradius?
Bin nur auf folgendes gekommen:
[mm] |z^2|<\bruch1{3}<=>
[/mm]
[mm] |z|*|z|<\bruch1{3} [/mm] <=>
[mm] |z|<\bruch1{3*|z|}
[/mm]
In der Form darf man den Konvergenzradius aber nicht angeben oder? Die Rechte-Seite ist ja in diesem Fall ja keine Konstanten und von z abhängig.
Kann mir evtl. jemand weiterhelfen?
Gruß 
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Hallo MatheStein,
> Gesucht ist der Konvergenzradius folgender Potenzreihe:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3^n z^{2n}[/mm]
> Hey Leute,
>
> da man Hadamard nicht direkt anwenden kann,
Substituiere [mm]y=z^2[/mm], dann geht's direkt mit Cauchy-Hadamard!
> habe ich mir
> die Herleitung der Formel angeguckt und das obige dann
> analog zum klassichen Fall zu folgendem umgeformt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3^n z^{2n}[/mm] konvergiert falls,
>
> [mm]limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n z^{2n}|}<1[/mm] <=>
>
> [mm]|z^2|*lim sup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n|}<1[/mm] <=>
>
> [mm]|z^2|<\bruch1{lim sup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n|}}[/mm]
>
> [mm]|z^2|<\bruch1{3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Kann dies jemand bestätigen?
Ja, ich!
> Falls ja, wie erhalte ich weiter den Konvergenzradius?
> Bin nur auf folgendes gekommen:
>
> [mm]|z^2|<\bruch1{3}<=>[/mm]
>
> [mm]|z|*|z|<\bruch1{3}[/mm] <=>
>
> [mm]|z|<\bruch1{3*|z|}[/mm]
>
> In der Form darf man den Konvergenzradius aber nicht
> angeben oder? Die Rechte-Seite ist ja in diesem Fall ja
> keine Konstanten und von z abhängig.
Ja, das ist Murks, es ist doch [mm]\left|z^2\right|=|z|^2[/mm]
Also Konvergenz für [mm]\left|z^2\right|=|z|^2<\frac{1}{3}[/mm]
Also [mm]|z|<\frac{1}{\sqrt{3}}[/mm]
Also ist der Konvergenzradius [mm]\rho=\frac{1}{\sqrt{3}}[/mm]
>
> Kann mir evtl. jemand weiterhelfen?
>
> Gruß
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Mi 27.04.2011 | | Autor: | MatheStein |
Besten Dank
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