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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe in den Randpunkten.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k^2}}{3^k} [/mm] |
Guten Tag an alle,
ich habe mal eine Frage bezüglich dieser Potenzreihe hier.
Ich hatte die mal so berechnet nur wurde es mir falsch angestrichen und ich weiss nicht warum.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k^2}}{3^k} [/mm] =
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{x^k}{3} \right)^k
[/mm]
Radius' = [mm] \bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}sup\wurzel[k]{\bruch{1}{3^k} }} [/mm] = 3
R = [mm] \wurzel[k]{R'}=\wurzel[k]{3} [/mm] . Ab da soll der Fehler angeblich sein.
Würde mich freuen wenn mir da jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dave,
musst du nicht nach Cauchy-Hadamard für die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^k}\cdot{}x^{\red{k^2}}$ [/mm] folgendes bestimmen ?:
[mm] $R=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[\red{k^2}]{\frac{1}{3^k}}}=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\left(\frac{1}{3^k}\right)^{\frac{1}{k^2}}}=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\frac{1}{3^{\frac{1}{k}}}}=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{3}}}=\frac{1}{1}=1$
[/mm]
Also Konvergenz für $|x|<1$ und Divergenz für $|x|>1$
Und für $|x|=1$ hast du zum einen ($x=1$) die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^k}$
[/mm]
Und die kennste...
Für $x=-1$ hast du die Reihe.....
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
Ok jetzt ist mir alles klar.Habe an der einen Stelle den Fehler gemacht.
Vielen Dank nochmal
Gruss Dave
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