Potenzrechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 So 11.12.2005 | | Autor: | Beliar |
Hallo,
komme bei den folgenden Aufgaben nicht weiter, habe zum Teil Lösungen.Wer kann mir hier erklären was ich da genau machen muss?
1. Vereinfache so weit wie möglich:
1.1 [mm] x^4 y^6 [/mm] x^-2 y^-5 [mm] =x^2 [/mm] y
1.2 [mm] \bruch{8a^3 y^-6}{27y^-3 a^6} [/mm] = [mm] \bruch{8y^-3}{27a^3}
[/mm]
1.3 [mm] \wurzel[5]{a^15 b^10 c^-20} [/mm] =???
1.4 [mm] \bruch{a^1/3}{a^1/4} [/mm] = [mm] a^1/12
[/mm]
1.5 [mm] a^1/4 a^1/2 \wurzel[4]{a^3/2} [/mm] =???
1.6 [mm] \bruch{3* \wurzel{3}-2*\wurzel{2}}{3*\wurzel{2}-2* \wurzel{3}}
[/mm]
bin dankbar für jede Erklärung
Gruß Beliar
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Hi, Beliar,
> 1. Vereinfache so weit wie möglich:
>
> 1.1 [mm]x^4 y^6[/mm] x^-2 y^-5 [mm]=x^2[/mm] y
Hier geht's vor allem um die Regel:
[mm] x^{a}*x^{b} [/mm] = [mm] x^{a+b}.
[/mm]
Die gilt natürlich auch, wenn negative Hochzahlen vorkommen, z.B.:
[mm] x^{a}*x^{-b} [/mm] = [mm] x^{a-b}.
[/mm]
Daher :
[mm] x^{4}* y^{6}* x^{-2} y^{-5}
[/mm]
= [mm] x^{4-2}*y^{6-5}
[/mm]
= [mm] x^{2}*y^{1} [/mm] = [mm] x^{2}*y [/mm]
> 1.2 [mm]\bruch{8a^3 y^-6}{27y^-3 a^6}[/mm] =
> [mm]\bruch{8y^-3}{27a^3}[/mm]
Hier geht's um die Regel:
[mm] \bruch{x^{a}}{x^{b}} [/mm] = [mm] x^{a - b} [/mm] wenn a > b
bzw.
[mm] \bruch{x^{a}}{x^{b}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^{b - a}}, [/mm] wenn a < b.
Daher:
[mm] \bruch{8a^{3}*y^{-6}}{27y^{-3}*a^{6}}
[/mm]
= [mm] \bruch{8}{27y^{-3 - (-6)}*a^{6 - 3}}
[/mm]
= [mm] \bruch{8}{27y^{3}*a^{3}}
[/mm]
Dein Ergebnis ist zwar auch richtig, aber meins ist "schöner", weil ich nur positive Hochzahlen habe!
> 1.3 [mm]\wurzel[5]{a^15 b^10 c^-20}[/mm] =???
Hier haben wir die Potenzregeln
[mm] \wurzel[n]{a} [/mm] = [mm] a^{\bruch{1}{n}} [/mm] (natürlich nur für a [mm] \ge [/mm] 0)
und
[mm] (a^{b})^{c} [/mm] = [mm] a^{b*c}
[/mm]
Daher:
[mm] \wurzel[5]{a^{15} b^{10} c^{-20}}
[/mm]
= [mm] (a^{15} b^{10} c^{-20})^{\bruch{1}{5}}
[/mm]
= [mm] (a^{15})^{\bruch{1}{5}}*(b^{10})^{\bruch{1}{5}}*(c^{-20})^{\bruch{1}{5}}
[/mm]
= [mm] a^{3}*b^{2}*c^{-4}
[/mm]
>
> 1.4 [mm]\bruch{a^1/3}{a^1/4}[/mm] = [mm]a^1/12[/mm]
wie bei 1.2 !
> 1.5 [mm]a^1/4 a^1/2 \wurzel[4]{a^3/2}[/mm] =???
Probier's mal selbst! Die Regeln stehen ja alle oben!
> 1.6 [mm]\bruch{3* \wurzel{3}-2*\wurzel{2}}{3*\wurzel{2}-2* \wurzel{3}}[/mm]
Erweitere den Bruch mit [mm] (3*\wurzel{2} [/mm] + [mm] 2*\wurzel{3}),
[/mm]
verwende im Nenner die 3. binomische Formel und multipliziere den Zähler aus! (Vergiss' beim Erweitern im Zähler und im Nenner die Klammern nicht!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 11.12.2005 | | Autor: | Beliar |
Also zu 1.4
[mm] \bruch{a^1/3}{a^1/4} [/mm] habe 1/4 von den 1/3 abgezogen nachdem ich sie gleichnamig gemacht habe erkenne jetzt nicht was daran falsch ist.
zu 1.6
wenn ich erweiter bekomme ich [mm] -(3*\wurzel{3}-2* \wurzel{2})(3* \wurzel{2}+2* \wurzel{3})
[/mm]
und dann??
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Hi, Beliar,
> Also zu 1.4
> [mm]\bruch{a^1/3}{a^1/4}[/mm] habe 1/4 von den 1/3 abgezogen
> nachdem ich sie gleichnamig gemacht habe erkenne jetzt
> nicht was daran falsch ist.
Hab' nicht gesagt, dass Dein Ergebnis falsch ist!
Würde allerdings umgekehrt 1/3 - 1/4 = 1/12 rechnen!
> zu 1.6
> wenn ich erweiter bekomme ich [mm]-(3*\wurzel{3}-2* \wurzel{2})(3* \wurzel{2}+2* \wurzel{3})[/mm]
>
> und dann??
Ausmultiplizieren!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 So 11.12.2005 | | Autor: | Beliar |
zu 1.6
nachdem Ausmultiplizieren habe ich:
-9* [mm] \wurzel{3}* \wurzel{2} [/mm] + [mm] 4*\wurzel{2}* \wurzel{3}
[/mm]
kann das sein?
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Hallo Beliar,
> zu 1.6
> nachdem Ausmultiplizieren habe ich:
> -9* [mm]\wurzel{3}* \wurzel{2}[/mm] + [mm]4*\wurzel{2}* \wurzel{3}[/mm]
Ich nehme an, hierbei handelt es sich um das Ergebnis im Zähler des Bruches, oder? Wenn ja, so hast Du da irgendwie mehrere Fehler eingebaut. Nach welchem Schema/Verfahren hast Du den die Klammerfaktoren ausmultipliziert?
Wenn ich folgende Aufgabe vor mir habe:
[mm] $\left(3\sqrt{3} -2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}\right)$
[/mm]
Dann rechne ich nach folgendem Schema:
(1) [mm] $3\sqrt{3}\cdot{3\sqrt{2}} [/mm] = [mm] 9\sqrt{3\cdot{2}} [/mm] = [mm] 9\sqrt{6}$
[/mm]
(2) [mm] $3\sqrt{3}\cdot{2\sqrt{3}} [/mm] = [mm] 6\sqrt{3^2} [/mm] = [mm] 6\cdot{3} [/mm] = 18$
(3) [mm] $-2\sqrt{2}\cdot{3\sqrt{2}} [/mm] = [mm] -6\sqrt{2^2} [/mm] = -12$
(4) [mm] $-2\sqrt{2}\cdot{2\sqrt{3}} [/mm] = [mm] -4\sqrt{6}$
[/mm]
(5) [mm]9\sqrt{6}+18+\left(-12\right) + \left(-4\sqrt{6}\right) = \left(3\sqrt{3} -2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}\right)[/mm]
Mir scheint, Du hast die Schritte 2 und 3 einfach ausgelassen. Außerdem hast Du die Vorzeichen im Vergleich zu mir exakt andersrum gesetzt.
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 11.12.2005 | | Autor: | Beliar |
Also je mehr ich mich mit der Aufgabe beschäftige desto weniger verstehe ich etwas, ich weiss dasd das nicht der Regelfall ist, aber kann mir jemand die Aufgabe ausführlich vorrechenen und kommentieren.
[mm] \bruch{3* \wurzel{3}-2* \wurzel{2}}{3* \wurzel{2}-2* \wurzel{3}}
[/mm]
Danke für eure Hilfe
Beliar
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Hallo Beliar,
> Also je mehr ich mich mit der Aufgabe beschäftige desto
> weniger verstehe ich etwas, ich weiss dasd das nicht der
> Regelfall ist, aber kann mir jemand die Aufgabe ausführlich
> vorrechenen und kommentieren.
> [mm]\bruch{3* \wurzel{3}-2* \wurzel{2}}{3* \wurzel{2}-2* \wurzel{3}}[/mm]
>
[mm]\bruch{3* \wurzel{3}-2* \wurzel{2}}{3* \wurzel{2}-2* \wurzel{3}}[/mm]
[mm]= \bruch{(3* \wurzel{3}-2* \wurzel{2})(3* \wurzel{2}+ 2* \wurzel{3})}{(3* \wurzel{2}-2* \wurzel{3})(3* \wurzel{2}+ 2* \wurzel{3})}[/mm]
nun gilt im Nenner mit der 3. Binomischen Formel:
$(3* [mm] \wurzel{2}-2* \wurzel{3})(3* \wurzel{2}+ [/mm] 2* [mm] \wurzel{3})= (3*\wurzel{2})^2 [/mm] - (2* [mm] \wurzel{3})^2 [/mm] = 18 - 12 = 6 $
Der Nenner wird durch diesen "Trick" als rational!
Im Zähler geht das nicht, weil die Wurzeln "falsch" stehen:
$(3* [mm] \wurzel{3}-2* \wurzel{2})(3* \wurzel{2}+ [/mm] 2* [mm] \wurzel{3})= [/mm] 9 * [mm] \wurzel{2*3} [/mm] + 6*3 - 6 [mm] \wurzel{6} [/mm] - 4*3$
Jetzt musst du nur noch zusammenfassen und alles wieder als Bruch schreiben und ev. kürzen ...
Gruß informix
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