Potenzmenge, Sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mi 08.03.2006 | | Autor: | elena27 |
| Aufgabe | Sei X nicht leere Menge und [mm] \IR [/mm] versehen mit der Borel-Algebra.
Gibt es eine Sigma-Algebra, so dass alle Abbildungen f: X --> [mm] \IR [/mm] messbar sind? |
Die Antwort auf diese Frage lautet: Ja , diese Sigma -Algebra ist die Potenzmenge von X.
Leider verstehe ich nicht warum. Weil Potenzmenge die größte Sigma -Algebra, die X enthält?
Könnte mir jemand bitte einen Tipp geben?
Ich wäre sehr dankbar für jede Hilfe.
LG
Elena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mi 08.03.2006 | | Autor: | andreas |
hi
ich nehme jetzt einfach mal an, dass eure definition von messbarkeit ist:
$f: X [mm] \longrightarrow \mathbb{R}$ [/mm] messbar $: [mm] \Longleftrightarrow$ $f^{-1}(A)$ [/mm] messbar für jedes messbare $A [mm] \subset \mathbb{R}$, [/mm]
also urbilder messbarer mengen sind messbar. dann ist die aufgabe aber trivial, denn für jedes $A [mm] \subset \mathbb{R}$ [/mm] gilt offensichtlich [mm] $f^{-1}(A) \in \mathcal{P}(X)$, [/mm] wenn [mm] $\mathcal{P}(X)$ [/mm] die potenzmenge von $X$ bezeichnet. also ist jede funktion $f: X [mm] \longrightarrow \mathbb{R}$ [/mm] messbar.
wenn ihr eine andere definition von messbrakeit hatte, so poste diese bitte mal.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mi 08.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Andreas,
vielen vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Die Definition stimmt schon. Wahrscheinlich bin ich blöd, aber ich verstehe genau das nicht: [mm] f^{-1}(A) \in \mathcal{P}(X)
[/mm]
Warum?
LG Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mi 08.03.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> vielen vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
> Die Definition stimmt schon. Wahrscheinlich bin ich blöd,
> aber ich verstehe genau das nicht: [mm]f^{-1}(A) \in \mathcal{P}(X)[/mm]
>
> Warum?
[mm] $\mathcal{P}(X) [/mm] := [mm] \{B: B \subset X\}$ [/mm] ist ja einfach die menge aller teilmengen von $X$. andererseits ist ja das urbild definiert als [mm] $f^{-1}(A) [/mm] = [mm] \{x \in X: f(x) \in A \} \subset [/mm] X$ und das ist ja per definition eine teilmenge von $X$ und da [mm] $\mathcal{P}(X)$ [/mm] alle teilmengen von $X$ enthält muss also auch [mm] $f^{-1}(A) \in \mathcal{P}(X)$ [/mm] sein.
wenn du so willst ist deine intuition aus deiner ersten frage richtig: [mm] $\mathcal{P}(X)$ [/mm] ist die größte [mm] $\sigma$-algebra [/mm] auf $X$, also die [mm] $\sigma$-algebra [/mm] auf $X$, die die meisten funktionen $f: X [mm] \longrightarrow \mathbb{R}$ [/mm] messbar macht, da ja beliebige urbilder dadurch messbar werden.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Mi 08.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Vielen Dank Andreas für Deine Hilfe.
Du hast mir sehr weitergeholfen.
LG, Elena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Do 09.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei X nicht leere Menge und [mm]\IR[/mm] versehen mit der
> Borel-Algebra.
> Gibt es eine Sigma-Algebra, so dass alle Abbildungen f: X
> --> [mm]\IR[/mm] messbar sind?
> Die Antwort auf diese Frage lautet: Ja , diese Sigma
> -Algebra ist die Potenzmenge von X.
Um das zu vervollstaendigen: Die Potenzmenge ist sogar die einzige Sigma-Algebra, die dies leistet. Denn ist $A [mm] \subseteq [/mm] X$ eine beliebige Teilmenge, so betrachte die Indikatorfunktion [mm] $1_A [/mm] : X [mm] \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \begin{cases} 1, & x \in A, \\ 0, & x \not\in A \end{cases}$. [/mm] Wenn diese messbar ist, dann muss [mm] $(1_A)^{-1}(\{ 1 \}) [/mm] = A$ in der Sigma-Algebra enthalten sein, und da $A$ beliebig war muss die Sigma-Algebra also die Potenzmenge sein.
LG Felix
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