Potenzgesetz, rationale Expon. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie für [mm] r,p\in\IQ:
[/mm]
[mm] (a^{r})^{p}=a^{rp} [/mm] |
Hallo!
Ich habe [mm] r=\bruch{m}{n} [/mm] und [mm] p=\bruch{s}{t} [/mm] gesetzt und ein bisschen rumprobiert.
Der Trick besteht ja darin, das irgendwie so umzuwandeln, dass man die Potenzgesetze für die ganzen Zahlen anwenden kann, da ja [mm] m,n,s,t\in\IZ.
[/mm]
Aber ich komme nicht drauf WIE?!
Kann mir hier jemand helfen?
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Do 16.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie für [mm]r,p\in\IQ:[/mm]
> [mm](a^{r})^{p}=a^{rp}[/mm]
> Hallo!
> Ich habe [mm]r=\bruch{m}{n}[/mm] und [mm]p=\bruch{s}{t}[/mm] gesetzt und ein
> bisschen rumprobiert.
> Der Trick besteht ja darin, das irgendwie so umzuwandeln,
> dass man die Potenzgesetze für die ganzen Zahlen anwenden
> kann, da ja [mm]m,n,s,t\in\IZ.[/mm]
> Aber ich komme nicht drauf WIE?!
Es ist sicher a>0. Stimmts ?
Für r=0 oder p=0 ist nichts zu zeigen. Nimm zunächst r>0 und p>0 an.
Setze [mm] x:=(a^{r})^{p} [/mm] und y:= [mm] a^{rp}
[/mm]
Mit [mm]r=\bruch{m}{n}[/mm] und [mm]p=\bruch{s}{t}[/mm] (wobei m,n,s,t>0) zeige
[mm] x^{nt}= y^{nt}
[/mm]
Dann folgt x=y.
Die Fälle r<0 oder p<0 überlege Dir nun selbst.
FRED
>
> Kann mir hier jemand helfen?
> Grüßle, Lily
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> > Beweisen Sie für [mm]r,p\in\IQ:[/mm]
> > [mm](a^{r})^{p}=a^{rp}[/mm]
> > Hallo!
> > Ich habe [mm]r=\bruch{m}{n}[/mm] und [mm]p=\bruch{s}{t}[/mm] gesetzt und
> ein
> > bisschen rumprobiert.
> > Der Trick besteht ja darin, das irgendwie so
> umzuwandeln,
> > dass man die Potenzgesetze für die ganzen Zahlen anwenden
> > kann, da ja [mm]m,n,s,t\in\IZ.[/mm]
> > Aber ich komme nicht drauf WIE?!
>
> Es ist sicher a>0. Stimmts ?
>
> Für r=0 oder p=0 ist nichts zu zeigen. Nimm zunächst r>0
> und p>0 an.
>
> Setze [mm]x:=(a^{r})^{p}[/mm] und y:= [mm]a^{rp}[/mm]
>
> Mit [mm]r=\bruch{m}{n}[/mm] und [mm]p=\bruch{s}{t}[/mm] (wobei m,n,s,t>0)
> zeige
>
> [mm]x^{nt}= y^{nt}[/mm]
>
> Dann folgt x=y.
Danke erstmal für die Antwort!
Aber wie komme ich zu diesem [mm] x^{nt}= y^{nt}?
[/mm]
muss ich damit arbeiten, dass [mm] a^{m/n}=\wurzel[n]{a^{m}}?
[/mm]
Aber irgendwie komme ich damit nicht weiter!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Do 16.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Beweisen Sie für [mm]r,p\in\IQ:[/mm]
> > > [mm](a^{r})^{p}=a^{rp}[/mm]
> > > Hallo!
> > > Ich habe [mm]r=\bruch{m}{n}[/mm] und [mm]p=\bruch{s}{t}[/mm] gesetzt
> und
> > ein
> > > bisschen rumprobiert.
> > > Der Trick besteht ja darin, das irgendwie so
> > umzuwandeln,
> > > dass man die Potenzgesetze für die ganzen Zahlen anwenden
> > > kann, da ja [mm]m,n,s,t\in\IZ.[/mm]
> > > Aber ich komme nicht drauf WIE?!
> >
> > Es ist sicher a>0. Stimmts ?
> >
> > Für r=0 oder p=0 ist nichts zu zeigen. Nimm zunächst r>0
> > und p>0 an.
> >
> > Setze [mm]x:=(a^{r})^{p}[/mm] und y:= [mm]a^{rp}[/mm]
> >
> > Mit [mm]r=\bruch{m}{n}[/mm] und [mm]p=\bruch{s}{t}[/mm] (wobei m,n,s,t>0)
> > zeige
> >
> > [mm]x^{nt}= y^{nt}[/mm]
> >
> > Dann folgt x=y.
>
> Danke erstmal für die Antwort!
>
> Aber wie komme ich zu diesem [mm]x^{nt}= y^{nt}?[/mm]
> muss ich
> damit arbeiten, dass [mm]a^{m/n}=\wurzel[n]{a^{m}}?[/mm]
Ja. [mm] y^{nt}= (a^{\bruch{ms}{nt}})^{nt}=a^{ms}
[/mm]
FRED
> Aber irgendwie komme ich damit nicht weiter!
>
> Grüßle, Lily
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> > > > Beweisen Sie für [mm]r,p\in\IQ:[/mm]
> > > > [mm](a^{r})^{p}=a^{rp}[/mm]
> > > > Hallo!
> > > > Ich habe [mm]r=\bruch{m}{n}[/mm] und [mm]p=\bruch{s}{t}[/mm]
> gesetzt
> > > Setze [mm]x:=(a^{r})^{p}[/mm] und y:= [mm]a^{rp}[/mm]
> > >
> > > Mit [mm]r=\bruch{m}{n}[/mm] und [mm]p=\bruch{s}{t}[/mm] (wobei m,n,s,t>0)
> > > zeige
> > >
> > > [mm]x^{nt}= y^{nt}[/mm]
> > >
> > > Dann folgt x=y.
> >
> > Danke erstmal für die Antwort!
> >
> > Aber wie komme ich zu diesem [mm]x^{nt}= y^{nt}?[/mm]
> > muss ich
> > damit arbeiten, dass [mm]a^{m/n}=\wurzel[n]{a^{m}}?[/mm]
>
> Ja. [mm]y^{nt}= (a^{\bruch{ms}{nt}})^{nt}=a^{ms}[/mm]
>
>
Aber darf ich das denn so machen, denn ich verwende hier doch irgendwie teilweise das Rechengesetz, das ich beweisen will, da ich hier folgende Rechenschritte mache:
[mm] y^{nt}= (a^{\bruch{ms}{nt}})^{nt}= (a^{ms})^{\bruch{1}{nt}})^{nt}=a^{ms}
[/mm]
also verwende ich:
[mm] (b^{1/nt})^{nt}=b
[/mm]
Ist das eine gesonderte Regel, oder die, die ich hier beweisen soll?
wenn ersteres, kann ich das ja hier verwenden. beim zweiten ja nicht.
Oder hab ich da was falsch verstanden?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 16.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Beweisen Sie für [mm]r,p\in\IQ:[/mm]
> > > > > [mm](a^{r})^{p}=a^{rp}[/mm]
> > > > > Hallo!
> > > > > Ich habe [mm]r=\bruch{m}{n}[/mm] und [mm]p=\bruch{s}{t}[/mm]
> > gesetzt
>
> > > > Setze [mm]x:=(a^{r})^{p}[/mm] und y:= [mm]a^{rp}[/mm]
> > > >
> > > > Mit [mm]r=\bruch{m}{n}[/mm] und [mm]p=\bruch{s}{t}[/mm] (wobei m,n,s,t>0)
> > > > zeige
> > > >
> > > > [mm]x^{nt}= y^{nt}[/mm]
> > > >
> > > > Dann folgt x=y.
> > >
> > > Danke erstmal für die Antwort!
> > >
> > > Aber wie komme ich zu diesem [mm]x^{nt}= y^{nt}?[/mm]
> > >
> muss ich
> > > damit arbeiten, dass [mm]a^{m/n}=\wurzel[n]{a^{m}}?[/mm]
> >
> > Ja. [mm]y^{nt}= (a^{\bruch{ms}{nt}})^{nt}=a^{ms}[/mm]
> >
> >
>
> Aber darf ich das denn so machen, denn ich verwende hier
> doch irgendwie teilweise das Rechengesetz, das ich beweisen
> will, da ich hier folgende Rechenschritte mache:
> [mm]y^{nt}= (a^{\bruch{ms}{nt}})^{nt}= (a^{ms})^{\bruch{1}{nt}})^{nt}=a^{ms}[/mm]
>
> also verwende ich:
> [mm](b^{1/nt})^{nt}=b[/mm]
> Ist das eine gesonderte Regel, oder die, die ich hier
> beweisen soll?
> wenn ersteres, kann ich das ja hier verwenden. beim
> zweiten ja nicht.
> Oder hab ich da was falsch verstanden?
>
> Grüßle, Lily
Ist c>0, so ist [mm] c^{1/n} [/mm] nur eine andere Schreibweise für [mm] \wurzel[n]{c} [/mm] und nach Definition (!) der n-ten Wurzel ist
[mm] (c^{1/n})^n=c
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Do 16.08.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
aaaaah! *lichtaufgeh*
danke 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Do 16.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> aaaaah! *lichtaufgeh*
Glückwunsch !
FRED
> danke
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