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| Aufgabe | <br>
Für welche natürlichen Zahlen a und n lässt sich[mm]a ^ (^-^n^)[/mm] als abbrechender dezimalbruch schreiben? |
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guten weihnachtlichen vorabend liebe mathematiker,
ich hab zwar ehrlich gesagt nicht viel ahnung was ein abbrechender dezimalbruch ist =) aber meine überlegungen sind folgendermaßén:
1)
[mm] \IN[/mm]={1,2,3...} alle positiven ganzen zahlen ausser 0
also darf a als Basis nicht Null sein =)
[mm]a \neq 0[/mm]
aber null ist ja keine natürliche zahl laut definition... - hier also mein erster gedanklicher stolperstein
2)
für n ist egal welche Zahl man einsetzt weil [mm]a ^0[/mm]= 1 --> alle anderen natürlichen zahlen sind definiert
gehe ich in meinen annahmen richtig? kann mir jemand bitte helfen das mathematisch korrekt zu hinterfragen und zu beschreiben?
vielen dank im voraus & fröhliche weihnacht
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Di 24.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
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> Für welche natürlichen Zahlen a und n lässt sich[mm]a ^ (^-^n^)[/mm]
> als abbrechender dezimalbruch schreiben?
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> guten weihnachtlichen vorabend liebe mathematiker,
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> ich hab zwar ehrlich gesagt nicht viel ahnung was ein
> abbrechender dezimalbruch ist =) aber meine überlegungen
> sind folgendermaßén:
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> 1)
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> [mm]\IN[/mm]={1,2,3...} alle positiven ganzen zahlen ausser 0
>
> also darf a als Basis nicht Null sein =)
> [mm]a \neq 0[/mm]
> aber null ist ja keine natürliche zahl laut
> definition... - hier also mein erster gedanklicher
> stolperstein
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> 2)
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> für n ist egal welche Zahl man einsetzt weil [mm]a ^0[/mm]= 1 -->
> alle anderen natürlichen zahlen sind definiert
>
> gehe ich in meinen annahmen richtig? kann mir jemand bitte
> helfen das mathematisch korrekt zu hinterfragen und zu
> beschreiben?
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> vielen dank im voraus & fröhliche weihnacht
>
Für mich gilt:
[mm] \IN_0:=\{0,1,\ldots\}
[/mm]
[mm] \IN:=\{1,2,\ldots\}
[/mm]
Meinst du folgendes ?
[mm] a^{-n}=\frac{1}{a^n}
[/mm]
Hier muss natürlich [mm] a^n\not=0 [/mm] gelten mit:
[mm] n\in\IN_0 [/mm] und [mm] a\in\IN
[/mm]
Ausnahme: $a=0$ und $n=0$ geht auch, denn [mm] 0^0:=1.
[/mm]
Kommen wir nun zu den Dezimalzahlen:
Betrachte [mm] \IQ:=\{\frac{p}{q}|p\in\IZ\land q\in\IZ_{\not=0}\}
[/mm]
Es gibt abbrechende (endliche), reinperiodische und gemischtperiodische Dezimalzahlen. Hier geht es um die abbrechende endliche Dezimalzahlen. Diese sind von der Form [mm] \frac{p}{10^S}, [/mm] wobei $S$ die Stellenzahl hinter dem Komma ist. Du probierst also deinen Bruch auf diese Form zu bringen. Das geht natürlich nur, wenn der Nenner Teiler einer Zehnerpotenz [mm] 10^S [/mm] ist. In anderen Worten: Die Primfaktorzerlegung des Nenners darf nur die Primfaktoren $2$ und $5$ enthalten.
Tipp: Mit Google solltest du genug dazu finden.
Frohes Fest!
DieAcht
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