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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Leute |
| Aufgabe | Die größte Zahl, die mit drei Ziffern 3 geschrieben werden kann, ist [mm] 3^{33} [/mm] und nicht, wie häufig vermutet, [mm] 3^{(3^{3})}.
[/mm]
a. Vergleich beide Zahlen hinsichtlich ihrer Größe.
b. Wie viele Ziffern hat die größere Zahl mehr als die kleinere?
c. Ermittle die erste und die letzte Ziffer von [mm] 3^{33}!
[/mm]
d. Löse die Aufgabe mit und ohne GTR (Taschenrechner) |
kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Beim nächsten Mal wären ein paar Lösungsansätze von deiner Seite her willkommen!
Zu a)
Rechne die Potenz in der Klammer von [mm] 3^{\left(3^3\right)} [/mm] aus! Dann erkennst du, dass der Exponent dieses Terms kleiner ist als der von [mm] 3^{33}.
[/mm]
Zu b)
Würde ich ohne Taschenrechner auch bloß probieren. Wir wissen: Es ist nach Potenzgesetzen
[mm] 3^{33} [/mm] = [mm] 3^{27}*3^6=3^{27}*729
[/mm]
D.h. [mm] 3^{33} [/mm] hat entweder 2 Ziffern mehr (Falls [mm] 3^{27} [/mm] die Gestalt 1111111 hat, reicht die 729 noch nicht aus, damit der Übertrag bei der vordersten Zahl 1 wird) oder 3 Ziffern mehr.
Zu c)
Die letzte Ziffer von [mm] 3^{33}: [/mm] Betrachte einfach immer nur die letzte Ziffer. Es sind jeweils die letzten Ziffern
3 = [mm] 3^1
[/mm]
9 = [mm] 3^2
[/mm]
7 = [mm] 3^3
[/mm]
1 = [mm] 3^4
[/mm]
3 = [mm] 3^5
[/mm]
Und ab jetzt wiederholt es sich ja. Das heißt wir wissen dass
[mm] 3^4 [/mm] die letzte Ziffer 1 hat, [mm] 3^{8}, [/mm] ..., und auch [mm] 3^{32}. [/mm] Das heißt, [mm] 3^{33} [/mm] muss wieder die Endziffer ???(du bist dran!) haben.
Die erste Ziffer zu bestimmen - da wüsst ich jetzt auch nicht weiter. Ich lasse die Frage mal auf halb beantwortet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Leute |
gut danke nächstes mal werd ich meine lösungsansätze dazu schreiben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Leute |
achso und ich sollte dir ja noch sagen welche die letzte ziffer von [mm] 3^{33} [/mm] ist: 3 :)
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richtig 
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Hallo!
Zur b)
hattet ihr schon logarithmen?
lg(1)=0 und [mm] 10^0=0
[/mm]
lg(10)=1 und [mm] 10^1=1
[/mm]
lg(100)=2 und [mm] 10^2=100
[/mm]
...
Das heißt, der 10er Logarithmus gibt dir die Anzahl der Stellen minus 1 an. Achtung, wenn im Logarithmus keine Potenz von 10 steht, kommen krumme Zahlen raus! Diese mußt du aber einfach auf die nächste ganze Zahl aufrunden, und bekommst die Anzahl der Stellen.
Jetzt schau dir [mm] $lg(3^{33})$ [/mm] an. Nach den Logarithmengesetzen ist das [mm] $33*\lg(3)$. [/mm] Da nur nach der Differenz gefragt ist, musst du nur [mm] 6*\lg(3) [/mm] berechnen.
Jetzt müsste man mal schaun, wie du an [mm] \lg(3) [/mm] dran kommst, dann kann man das ganze auch ohne TR rechnen. Ich sage dir, dieser Wert ist knapp unter 0,5. Warum, darfst du selbst begründen. DAmit ist [mm] 6*\lg(3) [/mm] knapp unter 3, und die Anzahl der Stellen unterscheidet sich um 3.
Und das stimmt, denn die beiden Ergebnisse sind:
5559060566555523
7625597484987
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