Potentialfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich soll folgende Aufgabe lösen:
Auf der oberen Halbebene G= R x [mm] R^{+} [/mm] sei folgendes Vektorfeld gegeben:
[mm] u=\vektor{\bruch{-y}{x^2+y^2} \\ \bruch{x}{x^2+y^2}}
[/mm]
Ich soll zuerst 3 hinreichende Bedinungen für die Existenz einer Potentialfunktion geben und entscheiden ob diese auf G erfüllt und damit alle Kurvenintegrale von u über geschlossenen Kurven in G verschwinden.
Zu Punkt 1 :
G ist einfach zusammenhängend
Uy=Vx
Die partiellen Ableitungen von u,v sind stetig.
Meiner Meinung nach trifft das hier zu Uy=Vx habe ich nachgerechnet.
Zu Punkt 2: Hier verstehe ich leider nicht was ich machen soll bzw mir überlegen muss. Ich verstehe auch nicht das mit der oberen Halbebene!
Vielleicht könnt ihr mir erklären wie ich hier argumentieren sollte
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> Hallo
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> Ich soll folgende Aufgabe lösen:
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> Auf der oberen Halbebene G= R x [mm]R^{+}[/mm] sei folgendes
> Vektorfeld gegeben:
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> [mm]u=\vektor{\bruch{-y}{x^2+y^2} \\ \bruch{x}{x^2+y^2}}[/mm]
>
> Ich soll zuerst 3 hinreichende Bedinungen für die Existenz
> einer Potentialfunktion geben und entscheiden ob diese auf
> G erfüllt und damit alle Kurvenintegrale von u über
> geschlossenen Kurven in G verschwinden.
>
> Zu Punkt 1 :
>
> G ist einfach zusammenhängend ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Uy=Vx ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was genau meinst du mit U, V, Ux, Vy ?
Und stimmen dann die Vorzeichen wirklich ??
> Die partiellen Ableitungen von u,v sind stetig.
> Meiner Meinung nach trifft das hier zu Uy=Vx habe ich
> nachgerechnet.
Stimmen die Vorzeichen wirklich ??
> Die partiellen Ableitungen von u,v sind stetig.
Diese Aussage ist allerdings vom betrachteten Defi-
nitionsbereich abhängig !
> Zu Punkt 2: Hier verstehe ich leider nicht was ich machen
> soll bzw mir überlegen muss. Ich verstehe auch nicht das
> mit der oberen Halbebene!
Das ist der Definitionsbereich. D.h. man betrachtet das
Vektorfeld nur in dem Bereich der x-y-Ebene, wo die
y-Werte positiv sind: also alles oberhalb der x-Achse.
Im Nullpunkt O(0,0) wäre der Vektor gar nicht definiert
und somit das Feld weder stetig noch differenzierbar.
Das Feld kann man sich übrigens grafisch sehr schön
veranschaulichen.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Uy= [mm] \bruch{-y}{x^2+y^2} [/mm] dy = [mm] \bruch{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] Vx=\bruch{x}{x^2+y^2} [/mm] dx = [mm] \bruch{-(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
Somit stimmen die Vorzeichen.
Also ich habe mir das jetzt mal plotten lassen und in der Nähe vom Ursprung existiert ein Loch aber wie kann ich das ohne Software erkennen bzw ohne Software argumentieren?
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Hallo racy,
Was hast du genau plotten lassen?
> Uy= [mm]\bruch{-y}{x^2+y^2}[/mm] dy = [mm]\bruch{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
> [mm]Vx=\bruch{x}{x^2+y^2}[/mm] dx =
> [mm]\bruch{-(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Somit stimmen die Vorzeichen.
>
> Also ich habe mir das jetzt mal plotten lassen und in der
> Nähe vom Ursprung existiert ein Loch aber wie kann ich das
> ohne Software erkennen bzw ohne Software argumentieren?
Dort ist ein "Loch", weil du dir mal genau den Wert vom Nullpunkt anschauen musst. Was passiert denn, wenn [mm] (x,y)\to(0,0) [/mm] ?
Ohne Zeichnen kommst du darauf, indem du dir immer mal den Nenner etwas genauer anschaust. Dich interessieren dabei die Nullstellen des Nenners.
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> Uy= [mm]\bruch{-y}{x^2+y^2}\ dy =\ \bruch{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
> [mm]Vx=\bruch{x}{x^2+y^2}\ dx = \ \bruch{-(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> Somit stimmen die Vorzeichen.
Nein, da stimmt leider nur wenig. Die Schreibweise
mit Differentialsymbolen ist komplett daneben.
Ich probiere mal, das zu notieren, was du möglicher-
weise meinen wolltest:
$\ U(x,y):=\ [mm] \bruch{-y}{x^2+y^2}$
[/mm]
$\ V(x,y):=\ [mm] \bruch{x}{x^2+y^2}$
[/mm]
$\ [mm] U_y\ [/mm] =\ [mm] \frac{\partial}{\partial y}\,U(x,y)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{(-1)*(x^2+y^2)-(-y)*2\,y}{(x^2+y^2)^2}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
$\ [mm] V_x\ [/mm] =\ [mm] \frac{\partial}{\partial x}\,V(x,y)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1*(x^2+y^2)-x*2\,x}{(x^2+y^2)^2}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}$
[/mm]
So, erst jetzt stimmen die beiden Ergebnisse überein,
woraus dann hervorgeht, dass das Feld für alle (x,y)
mit [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] rotationsfrei ist.
LG , Al-Chwarizmi
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Hier etwas, das genau zu deiner Aufgabe passt:
![[]](/images/popup.gif) Magnetfeld
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