Potential Punktdipol *update < Elektrik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mo 14.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
die Ladungsverteilung eines Punktdipols ist:
[mm] $\varrho(\vec{y})=-(\vec{p}\cdot\nabla)\delta(\vec{y})$
[/mm]
Um das Potential zu berechnen verwende ich das Poissonintegral:
[mm] $\phi(\vec{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{\varrho(\vec{y})}{|\vec{x}-\vec{y}|}\,\mathrm{d}^{3}y=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{(\vec{p}\cdot\nabla)\delta(\vec{y})}{|\vec{x}-\vec{y}|}\,\mathrm{d}^{3}y$
[/mm]
Das wird nun mittels partieller Integration gelöst. Leider habe ich in keinem Buch oder sonstwo die Zwischenschritte gefunden.
Wie werden denn hier die Produkte gewählt?
Gruß,
notinX
update:
Wenn ich als
[mm] $f'=-(\vec{p}\cdot\nabla)\delta(\vec{y})\Rightarrow f=-\vec{p}\delta(\vec{y})$
[/mm]
und als
[mm] $g=\frac{1}{|\vec{x}-\vec{y}|}\Rightarrow g'=-\frac{\vec{x}-\vec{y}}{|\vec{x}-\vec{y}|^3}$
[/mm]
wähle haut das fast hin, es gilt ja: [mm] $\int f'g=fg-\int [/mm] fg'$, also:
[mm] $\ldots=-\vec{p}\delta(\vec{y})\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}|\vec{x}-\vec{y}|}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{\vec{p}\delta(\vec{y})(\vec{x}-\vec{y})}{|\vec{x}-\vec{y}|^3}\,\mathrm{d}^{3}y [/mm] $
Jetzt brauche ich nur noch eine vernünftige Begründung, dass der erse Summand =0 ist, dann passt alles...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Di 15.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
soweit mir bekannt, leitet man das Dipolpotential aus der
Summe der Potentiale 2 er Ladungen her, und laesst dann den Abstand gegen 0 gehen, bzw r>>d
das ist sicher auch vernuenftiger als einen nicht real existierenden Punktdipol mit [mm] \delta(\vec{y}) [/mm] zu definieren.
wie ist denn bei euch [mm] \delta(\vec{y}) [/mm] definiert?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Di 15.01.2013 | | Autor: | notinX |
> hallo
> soweit mir bekannt, leitet man das Dipolpotential aus der
> Summe der Potentiale 2 er Ladungen her, und laesst dann den
> Abstand gegen 0 gehen, bzw r>>d
Das funktioniert möglicherweise auch.
> das ist sicher auch vernuenftiger als einen nicht real
> existierenden Punktdipol mit [mm]\delta(\vec{y})[/mm] zu
> definieren.
Ob vernünftig, oder nicht kann ich nicht zu beurteilen. In der Vorlesung und auch in so mancher Literatur wird das allerdings so gemacht und ich verstehe den Zwischenschritt nicht (weil er nicht angegeben ist).
> wie ist denn bei euch [mm]\delta(\vec{y})[/mm] definiert?
> Gruss leduart
>
Das ist die Delta-Distribution:
[mm] $\int f(\vec{y})\,\delta(\vec{y}-\vec{y}_0)\,\mathrm{d}^{3}y=f(\vec{y}_0)$
[/mm]
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Mo 21.01.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> die Ladungsverteilung eines Punktdipols ist:
> [mm]\varrho(\vec{y})=-(\vec{p}\cdot\nabla)\delta(\vec{y})[/mm]
> Um das Potential zu berechnen verwende ich das
> Poissonintegral:
>
> [mm]\phi(\vec{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{\varrho(\vec{y})}{|\vec{x}-\vec{y}|}\,\mathrm{d}^{3}y=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{(\vec{p}\cdot\nabla)\delta(\vec{y})}{|\vec{x}-\vec{y}|}\,\mathrm{d}^{3}y[/mm]
> Das wird nun mittels partieller Integration gelöst.
> Leider habe ich in keinem Buch oder sonstwo die
> Zwischenschritte gefunden.
> Wie werden denn hier die Produkte gewählt?
Du hast doch nur eine Ableitung im Integral:
[mm]\int\frac{\vec{p}}{|\vec{x}-\vec{y}|}*(\vec\nabla\delta(\vec{y}))\,\mathrm{d}^{3}y = - \integral \vec\nabla*\left(\frac{\vec{p}}{|\vec{x}-\vec{y}|}\right)\delta(\vec{y})\,\mathrm{d}^{3}y [/mm] .
Randterm gibt's keinen, da es sich hier um eine Distribution handelt, d.h. das Integral ist ein Grenzwert einer Folge regulärer Distributionen, die alle im Unendlichen verschwinden.
Und da das Dipolmoment konstant ist, verbleibt
[mm] - \integral \delta(\vec{y})\,\vec{p}*\vec\nabla\left(\frac{1}{|\vec{x}-\vec{y}|}\right)\,\mathrm{d}^{3}y [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Mo 21.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
>
> > die Ladungsverteilung eines Punktdipols ist:
> > [mm]\varrho(\vec{y})=-(\vec{p}\cdot\nabla)\delta(\vec{y})[/mm]
> > Um das Potential zu berechnen verwende ich das
> > Poissonintegral:
> >
> >
> [mm]\phi(\vec{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{\varrho(\vec{y})}{|\vec{x}-\vec{y}|}\,\mathrm{d}^{3}y=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{(\vec{p}\cdot\nabla)\delta(\vec{y})}{|\vec{x}-\vec{y}|}\,\mathrm{d}^{3}y[/mm]
> > Das wird nun mittels partieller Integration gelöst.
> > Leider habe ich in keinem Buch oder sonstwo die
> > Zwischenschritte gefunden.
> > Wie werden denn hier die Produkte gewählt?
>
> Du hast doch nur eine Ableitung im Integral:
>
> [mm]\int\frac{\vec{p}}{|\vec{x}-\vec{y}|}*(\vec\nabla\delta(\vec{y}))\,\mathrm{d}^{3}y = - \integral \vec\nabla*\left(\frac{\vec{p}}{|\vec{x}-\vec{y}|}\right)\delta(\vec{y})\,\mathrm{d}^{3}y[/mm]
> .
ist das nicht das Gleiche was ich auch gemacht habe? Davon abgesehen, dass bei mir noch ein weiterer Term als Summand davorsteht.
>
> Randterm gibt's keinen, da es sich hier um eine
> Distribution handelt, d.h. das Integral ist ein Grenzwert
> einer Folge regulärer Distributionen, die alle im
> Unendlichen verschwinden.
Was ist denn ein Randterm? Ist das bei der partiellen Integration
[mm] $\int f'g=fg-\int [/mm] fg'$
der Teil "fg" ?
Warum genau verschwindet der? Kannst Du das genauer begründen, oder mir sagen, wo ich das nachlesen kann?
>
> Und da das Dipolmoment konstant ist, verbleibt
>
> [mm]- \integral \delta(\vec{y})\,\vec{p}*\vec\nabla\left(\frac{1}{|\vec{x}-\vec{y}|}\right)\,\mathrm{d}^{3}y[/mm]
> .
>
> Viele Grüße
> Rainer
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Mo 21.01.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > > die Ladungsverteilung eines Punktdipols ist:
> > >
> [mm]\varrho(\vec{y})=-(\vec{p}\cdot\nabla)\delta(\vec{y})[/mm]
> > > Um das Potential zu berechnen verwende ich das
> > > Poissonintegral:
> > >
> > >
> >
> [mm]\phi(\vec{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{\varrho(\vec{y})}{|\vec{x}-\vec{y}|}\,\mathrm{d}^{3}y=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int\frac{(\vec{p}\cdot\nabla)\delta(\vec{y})}{|\vec{x}-\vec{y}|}\,\mathrm{d}^{3}y[/mm]
> > > Das wird nun mittels partieller Integration gelöst.
> > > Leider habe ich in keinem Buch oder sonstwo die
> > > Zwischenschritte gefunden.
> > > Wie werden denn hier die Produkte gewählt?
> >
> > Du hast doch nur eine Ableitung im Integral:
> >
> >
> [mm]\int\frac{\vec{p}}{|\vec{x}-\vec{y}|}*(\vec\nabla\delta(\vec{y}))\,\mathrm{d}^{3}y = - \integral \vec\nabla*\left(\frac{\vec{p}}{|\vec{x}-\vec{y}|}\right)\delta(\vec{y})\,\mathrm{d}^{3}y[/mm]
> > .
>
> ist das nicht das Gleiche was ich auch gemacht habe? Davon
> abgesehen, dass bei mir noch ein weiterer Term als Summand
> davorsteht.
>
> >
> > Randterm gibt's keinen, da es sich hier um eine
> > Distribution handelt, d.h. das Integral ist ein Grenzwert
> > einer Folge regulärer Distributionen, die alle im
> > Unendlichen verschwinden.
>
> Was ist denn ein Randterm? Ist das bei der partiellen
> Integration
> [mm]\int f'g=fg-\int fg'[/mm]
> der Teil "fg" ?
Ja.
> Warum genau verschwindet der? Kannst Du das genauer
> begründen, oder mir sagen, wo ich das nachlesen kann?
Weil es sich, genau genommen, nicht um ein Integral handelt, sondern um eine singuläre Distribution. Wenn es sich um eine reguläre Distribution handelte, dann würde der Randterm verschwinden, weil alle Testfunktionen kompakten Träger haben und daher auf dem Rand 0 sind.
Per Definition ist
[mm] \int f\delta' = - \int f' \delta [/mm] .
Siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Mo 21.01.2013 | | Autor: | notinX |
Alles klar, danke!
Gruß,
notinX
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