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Hallo zusammen,
ich verzweifel gerade an folgender Aufgabe und habe garkeine Idee, wie ich sie lösen könnte. Gibt es hier vielleicht jemanden, der mir bei der Aufgabe weiterhelfen könnte.
Gegeben habe ich eine beschränkte [mm] C^1- [/mm] Abbildung [mm] {f}_0: \IR^n \to \IR^n
[/mm]
b [mm] \in [/mm] Mat(n x n; [mm] \IR) [/mm] ist symmetrisch und negativ definit
f: [mm] \IR^n \to \IR^n, [/mm] x [mm] \mapsto f_0(x) [/mm] + Bx
Nun soll ich zeigen, dass es ein R > 0 derart gibt, dass [mm] \overline{K_r(0)} [/mm] = [mm] {x\in \IR^n, \parallel x \parallel_2 \le r} [/mm] für alle r [mm] \ge [/mm] R positiv invariant bezüglich [mm] \dot{x} [/mm] = f(x) ist.
Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe!
Viele Grüße,
Isa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Di 18.06.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo Isa,
> Hallo zusammen,
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> ich verzweifel gerade an folgender Aufgabe und habe
> garkeine Idee, wie ich sie lösen könnte. Gibt es hier
> vielleicht jemanden, der mir bei der Aufgabe weiterhelfen
> könnte.
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> Gegeben habe ich eine beschränkte [mm]C^1-[/mm] Abbildung [mm]{f}_0: \IR^n \to \IR^n[/mm]
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> [mm]b \in Mat(n x n; \IR)[/mm] ist symmetrisch und negativ definit
> [mm]f: \IR^n \to \IR^n, x \mapsto f_0(x) + Bx[/mm]
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> Nun soll ich zeigen, dass es ein R > 0 derart gibt, dass
> [mm]\overline{K_r(0)}[/mm] = [mm]{x\in \IR^n, \| x \|_2 \le r}[/mm]
> für alle [mm]r \ge R[/mm] positiv invariant bezüglich [mm]\dot{x} = f(x)[/mm] ist.
Anschaulich heisst das doch, dass eine Lösung der DGL [mm]\dot{x} = f(x)[/mm], die an einem Randpunkt von [mm]\overline{K_r(0)}[/mm] losgeht, von dort nach innen läuft. Das könntest du als eine Aussage über das Skalarprodukt [mm] $\dot{x} [/mm] * x$ formulieren.
Viele Grüße
Rainer
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